Tengo algo que no entiendo en fracciones

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No hay problema, mientras lo que tengas en los dos denominadores sea z menos dos números distintos la forma de descomponer es la misma

$$\begin{align}&\frac{1}{(z+3i)(z-3i)}=\frac{a}{z+3i}+\frac{b}{z-3i}\\ & \\ & \frac{(a+b)z+(3b-3a)i}{(z+3i)(z-3i)}\end{align}$$

Bueno, decía que no pasaba nada pero sí que pasa algo.

(a+b)z+(3b-3a)i = 1

si hacemos a+b=0 no sale y si hacemos 3b-3a=0 tampoco.

Pues tendremos que considerar que z es un número complejo con parte real e imaginarai

(a+b)(x+iy) + (3b-3a)i = 1

(a+b)x + y(a+b)i + (3b-3a)i = 1

(a+b)x + [y(a+b) + 3b - 3a]i = 1

salen estas dos ecuaciones

(a+b)x = 1

y(a+b) + 3b - 3a = 0

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ax+bx=1 ==> a = (1-bx)/x = (1/x) - b

(y-3)a + (y+3)b=0

$$\begin{align}&(y-3)\left(\frac 1x-b  \right)+(y+3)b =0\\ & \\ & b(-y+3+y+3) =-\left(\frac{y-3}{x}\right)=\frac{3-y}{x}\\ & \\ & 6b = \frac{3-y}{x}\\ & \\ & b= \frac{3-y}{6x}\\ & \\ & a= \frac 1x- \frac{3-y}{6x} = \frac{6-3+y}{6x}= \frac{3+y}{6x}\end{align}$$

Y lo dejas así asumiendo

x=Re(z)

y=Im(z)

$$\begin{align}& a= \frac{3+Im(z)}{6 \,Re(z)}\\ &\\ & b= \frac{3-Im(z)}{6\,Re(z)}\\ & \\ &\end{align}$$

o usas unas fórmulas

$$\begin{align}&Re(z) = \frac{z+\overline z}{2}\\ &\\ &Im(z) = \frac{z-\overline z}{2i}=\frac{i(\overline z - z)}{2}\\ &\\ &\\ &a=\frac{3+\frac{i(\overline z - z)}{2}}{6· \frac{z+\overline z}{2}}=\frac{6+i(\overline z-z)}{6(z+\overline z)}\\ &\\ &b=\frac{6-i(\overline z-z)}{6(z+\overline z)}\end{align}$$

La verdad es que se lía bastante.  Y eso es todo.