Demostración de un subespacio vectorial

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Para demostrar que es un espacio vectorial demostraremos que es un subespacio vectorial de R3.

El teorema de caracterización de subespacios vectoriales puede darse con una o dos condiciones. Vamos a hacerlo con 2 que no cuesta mucho más:

Sea X un subconjunto de V. Entonces X es subespacio vectorial d eV si y solo si se cumplen estas dos condiciones

1) u+v € X para todo u,v€X

2) Ku € V para todo k€ cuerpo, y todo u€V

Demostración:

1)

Sean u=(x, y, z), v=(r, s, t) € X

3x - y + 2z = 0

3r  - s + 2t = 0

sumándolas

3x+3r -y -s + 2z + 2t = 0

3(x+r) - (y+s) + 2(z+t) = 0

Esto significa que el vector

(x+r, y+s, z+t) € X

pero este vector es u+v

luego u+v € X

2)

Sea u=(x,y,z) € X

3x - y + 2z = 0

Dado cualquier k € R tenemos

k(3x - y + 2z) = 0

3(kx) -(ky) + 2(kz) = 0

Luego el vector (kx, ky, kz) € X

Y este vector es ku, luego ku € X

Y con estas dos condiciones queda demostrado que es un subespacio vectorial.

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b)

Geométricamente es un plano que pasa por el punto (0,0,0). Si fuese un plano que no pasara por (0,0,0) no sería un espacio vectorial.

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c)

Veamos que son vectores de ese espacio

A=(1,3,0) y B=(0, 2, 1)

deben cumplir 3x-y+2z=0

Para A     3·1 - 3 + 2·0 = 3 - 3 + 0 = 0

Para B     3·0 - 2 + 2·1 = 0 - 2 + 2 = 0

Luego son elementos de X.

Son linealmente independientes. Dos vectores de R3 no nulos son independientes si no son proporcionales, y aquí está bien claro, es imposible que 0 multiplicado por algo dé 1

Y es un sistema generador:

sea u=(x,y,z) tal que 3x-y+2z = 0

tomemos la combinación líneal

x(1,3,0)+ z(0, 2,1) = (x, 3x +2z , z)

como 3x-y+2z = 0  ==> 3x + 2z = y

sustituimos ese valor en el vector

= (x,y,z)

Luego u puede ponerse como combinación linela de A y B

Y con estas condiciones de ser elementos de X, libres y ser seitema generador se deduce que son una base de X.

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Y eso es todo.