Quien me puede ayudar con otro ejercicio de funciones?

Pedro Tellez!

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La asíntota oblicua no está bien, es

y = x/2 - 1/2

Has calculado bien que la pendiente es 1/2 pero luego el termino libre se calcula así

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)=\\ &\\ &\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^3}{2x^2+2x-12}-\frac x2  \right)=\\ &\\ &\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2x^3-2x^3-2x^2+12x}{2(2x^2+2x-12)}  \right)=\\ &\\ &\lim_{x\to \infty}\left(\frac{-2x^2+12x}{2(2x^2+2x-12)}  \right)=-\frac 12\end{align}$$

Pues calculemos la derivada.

$$\begin{align}&g(x) = \frac{x^3}{2x^2+2x-12}\\ & \\ & g'(x) = \frac{3x^2(2x^2+2x-12)-x^3(4x+2)}{(2x^2+2x-12)^2}=\\ & \\ & \frac{6x^4+6x^3-36x^2-4x^4-2x^3}{(2x^2+2x-12)^2}=\\ & \\ & \frac{2x^4+4x^3-36x^2}{(2x^2+2x-12)^2}\\ & \\ & \text{Y las raíces son}\\ & \\ & 2x^4+4x^3-36x^2=0\\ & \\ & x=0\text{ dos veces}\\ & \\ & 2x^2+4x-36=0\\ & \\ & x^2 + 2x -18 = 0\\ & \\ & x=\frac{-2\pm \sqrt{4+72}}{2}= \frac{-2\pm \sqrt{2^2·19}}{2}=\\ & \\ & -1-\sqrt{19} \quad y \quad -1+ \sqrt{19}\\ & \\ & \end{align}$$

Tienes que dividir la recta en los trozos que determinan las raíces y los puntos de discontinuidad

Para ello tendremos que dar valor aproximado a las raíces para saber por dónde están

-1 - sqrt(19) = -5.3588

-1 + sqrt(19) = 3.3588

Luego separamos en estos intervalos y calculamos el valor del numerador de la derivada en un punto interno. El denominador no se necesita para determinar el signo ya que es siempre positivo. Incluso no es necesario el denominador, podemos dividirlo por algo positvo. Resumiendo, que vamos a evaluar

x^2 + 2x - 18

(-oo, -1-sqrt(19)) en x=-10 vale 100-20-18= 62>0 luego la función es creciente

(-sqrt(19), -3) en x=-4 vale 16 - 8-18 = -10<0 luego la función es decreciente

(-3, 0) en x=-1 vale 1 - 2 -18 = -19 <0 luego la función es decreciente

(0, 2) en x=1 vale 1+2-18 = -15 < 0 luego es decreciente

(2, -1+sqrt(19)) en x=3 vale 9 + 6 -18 = -3 luego es decreciente

(-1+sqrt(19), +oo) en 10 vale 100+20-18 = 102 >0 luego es creciente

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame(mañana que me voy a dormir) y si ya está bien, no olvides valorar.