Determina cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial con las operaciones indicadas.
ayuda con este ejercicio:
a) El conjunto de sucesiones de números reales acotadas, con la suma de sucesiones y el producto de un número real por una sucesión. Sa={{an} c R| {an} es acotada}
b) Conjunto de polinomios en una variable x de grado igual a 5; con la suma de polinomios y el producto de un número real por un polinomio. P^5{= {p(x)=a5x^5+a4x^4+...+a1x+a0 | ai constante en R,Vi=1,..,n }
1 respuesta
Omar Arnaiz!
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Estos ejercicios nunca se plantean como la demostración de las propiedades de espacio vectorial para el conjunto dado, sino que antes se ha dicho (incluso sin demostración) que hay un conjunto más amplio que es un espacio vectorial y se trata de demostrar que el subconjunto que nos dan es un subespacio vectorial del espacio más amplio.
Entonces aquí el espacio de partida es el de todas las sucesiones de números reales. Para demostrar que el de las acotadas es un subespacio hay que demostrar que no es un subconjunto vacío y que una combinación lineal de dos de ellas
c1·an + c2·bn
Es también acotada.
Lo primero se cumple ya que la sucesión nula por ejemplo, la que tiene todo ceros es acotada
Y para lo segundo sean M1 y M2 sendas cotas de an y bn
|an| <= M1 para todo n€N
|bn| <= M2 para todo n€N
|c1·an + c2·bn| <= |c1·an| + |c2·bn| = |c1|·|an| + |c2|·|bn| <= |c1|·M1 + |c2|·M2 para todo n€N
Luego la combinación lineal de las dos es una sucesión acotada
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El conjunto de los polinomios de grado igual a 5 no es un subespacio vectorial ya que no contiene al elemento neutro cuyo grado es 0. O porque la operación no es interna, ya que dados
p(x) =x^5
q(x) = -x^5 +x^4
p(x)+q(x) = x^4 que no es de grado 5.
