Quizá no sea la persona más indicada para responder tu pregunta, supongo que debe de hacerlo un abogado, pero he visto que aún no tenías respuesta y he querido darte mi opinión en función de mi conocimiento.
Si el Juez te ha otorgado en las medidas civiles el uso y disfrute de la vivienda, aunque esté alquilada, tú tienes el derecho a ese uso y disfrute, ya que el alquiler está a nombre de él, de manera que yo no veo ni necesario el cambio de titularidad en el contrato de alquiler, ya que el Juez lo indica en esas medidas.
Respecto a lo que te dice tu casera, comentarte que no, no es tan sencillo como te dice de que mañana puede ponerte en la calle y quedarte incluso sin muebles. Lo primero que para interponer una demanda se deben producir impagos, si se produjesen y te quisiera demandar, la Ley impone unos plazos que se deben cumplir, desde que se le acepta la demanda a trámite hasta que se lleva a cabo el desahucio, pero repito, para que esto ocurra lo primero que debe haber son impagos y presentar la demanda. Si fuese así, entre unas cosas y otras se le pueden ir unos seis/ocho meses, encontrándose en el camino el problema que va a tener contigo al tener 4 hijos menores. Esto no quiere decir que en el caso de impago no puede echarte nunca de su casa, pero lo que está claro es que no es inmediato, además de que una vez puesta la demanda, si es la primera vez que ocurre, tienes la posibilidad de regularizar la situación y quedaría todo sin efecto. También comentarte que si todo esto pasase, el Juzgado fija una fecha con bastante antelación para el desahucio, de forma que tendrías tiempo más que suficiente para preparar otra vivienda, sacar tus muebles, etc. (En todo momento te hablo de que haya impagos, creo que comentas que hay dos y es a lo único que se puede agarrar legalmente la casera, pero siempre con los plazos que da la Ley).
Espero haberte ayudado algo, simplemente no temas que de la noche al día te puedes ver en la calle con los niños y sin muebles, eso no lo permite la Ley. Un último detalle, desde ahora haz los ingresos de la mensualidad siempre por banco para que quede constancia del pago y si no, cuando le pagues, que te de un recibo de que has pagado el mes.
Un saludo y mucha suerte.
Si te pido por favor que valores la respuesta para poder seguir contestando a otros usuarios que lo necesiten.
Pedro T.