¿Como puedo resolver la función de continuidad?
Primera parte
En la gráfica de la siguiente función, indique por dónde atraviesa el eje de las “y’s”, o sea la ordenada al origen, calcula los límites cuando “x” tiende a 2 y explica si la función es continua precisamente en x=2 y porqué es o no continua. (No necesito la gráfica, pero si el procedimiento y conclusiones.)
x-3 si x>2
f(x)=
3-2x si x<2
Segunda parte La siguiente expresión representa niveles de inventario de cierta empresa, en diferentes tiempos:
-100t + 600 si < (o igual) t < 5
f(t)= -100 t + 110 si 5 < (o igual) t < 5
-100 t + 1600 si 10 < (o igual) t < (o igual) 15
Contesta las siguientes preguntas:
- ¿Es continua la función en t=2?
- ¿Es continua la función en t=5?
- ¿Es continua la función en t=15?
1 Respuesta
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Déjame que ponga la función por orden de izquierda a derecha, si no se puede líar uno.
f(x) = 3-2x si x<2
x-3 si x>2
El eje Y se pasará cuando x=0, luego tenemos que evaluar la función primera de las dos
f(0) = 3 - 2·0 = 3 - 0 = 3
Los límites cuando tiende a 2 deben calcularse cada uno con la función que corresponde a la izquierda o derecha del 2
$$\begin{align}&\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to2}(3-2x)=3-2·2 = -1\\&\\&\lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to2}(x-3)=2-3 = -1\\&\end{align}$$Y con respecto a la continuidad tenemos un problema. La función no está definida en el 2, tal como la has definido tiene valores para todo número salvo el 2. Luego no cabe hablar de continuidad ni nada ya que no está definida.
Lo que si acaso se podría hacer es definir el valor el x=2.
Si lo definimos como
f(2)=-1
Entonces la función será continua ya que su los límites laterales coinciden, y coincide con el valor de la función.
Luego tu verás si falta algo en el enunciado o como resuelve tu profesor estos problemas y lo haces de esa forma.
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1) Si en t=2 es continua, tanto por la izquierda como por la derecha la función es
-100t + 600
Que es una función lineal continua de toda la vida.
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2) En t=5 deberemos calcular los límites laterales para ver si coinciden con el valor de la función, ya que por la izquierda la función se define de una forma y por la derecha de otra.
$$\begin{align}&-100t + 600\quad si\;t \le 5\\&-100 t + 110\quad si 5 \le \;t \le 5\end{align}$$¡Uff! Esa función no está bien definida, mira a ver si está correcto el enunciado.
He visto este problema por otro sitio con la función bien definida, en el enlace de abajo puedes ver la respuesta
Y eso es todo.
Si, esa es la definición que había visto en el otro sitio, luego la respuesta que tienes en el enlace te sirve. Si acaso la vuelvo a escribir:
a) En t=2 es continua, tanto por la izquierda como por la derecha tenemos la misma función que es una sencilla función lineal f(t)=-100t+600 continua de toda la vida.
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b) En t=5 deberemos comprobar si coinciden los límites
$$\begin{align}&\lim_{t\to 5_-}f(t) = \lim_{t \to 5}(-100t+600) =\\&-100·5 + 600 = 100\\&\\&\\&\lim_{t\to 5_+}f(t)= \lim_{t\to5 }(-100t+110)=\\&-100·5+110 = -390\end{align}$$No coinciden los límites laterales, luego la función no es continua en t=5
c) En t=15 tenemos el extremo derecho de la función y no hay límite por la derecha, será continua solo con que el valor de la función coincida con el límite por la izquierda.
Y el límite por la izquierda es el valor de la función en 15, luego es continua.
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Y eso es todo.
