Calculo integral y sus aplicaciones, función de ingreso total
Primera parte:
La función de costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:
$$\begin{align}&dc/dq=10-(100/q+10)\end{align}$$Donde C es el costo total en dólares cuando se fabrican unidades.
- Determine la función de costo total, suponiendo que la constante de integración es de 500
- De acuerdo a la función anterior, indique el costo de fabricar 100 unidades.
Segunda parte:
La derivada del precio respecto a la cantidad demandada de un cierto producto es:
$$\begin{align}&dp/dq= -100/(q+2)^2\end{align}$$- Calcule la rapidez a la que cambia el precio cuando se venden 3 piezas.
- Considerando la constante de integración como cero, determina el precio al que se demandan 3 unidades.
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En la primera función creo que no pusiste bien el paréntesis, si la función es:
$$\begin{align}& \frac{dc}{dq}=10-\frac{100}{q+10}\end{align}$$la forma correcta de escribirla en una línea es
dc/dq = 10 - 100/(q+10)
Es siempre obligatorio que todo denominador que tiene más de un término o más de un factor aparezca todo el entre paréntesis, si no es imposible saber su longitud y cada persona que lo lea podría interpretarlo distinto. También debe ir entre paréntesis todo numerador que tenga más de un término y todo exponente que tenga más de un término o factor.
Bueno, resolvámoslo. Hay que hacer la integral indefinida del costo marginal para calcular el costo
$$\begin{align}&\int \left(10-\frac{100}{q+10}\right)dq=\\&\\&10q - 100·ln(q+10)+C\\&\\&\text{y como nos dicen que la constante es 500}\\&\\&c(q)=10q - 100·ln(q+10)+500\\&\\&\text{y el costo de producir 100 unidades es}\\&\\&c(100)=10·100-100·ln(100+10)+500=\\&\\&1000-100·ln(110)+500 =\\&\\&1000-470.0480366+500=1029.951963\end{align}$$--------------------
1) La rapidez de cambio del precio es la derivada del precio respecto de las unidades vendidas. Como ya nos dan la derivada simplemente la evaluaremos en q=3
p'(3) = -100 / (3+2)^2 = -100 / 5^2 = -100 / 25 = -4
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2) Calculamos la integral de la función que nos han dado para calcular p
$$\begin{align}&p=\int -\frac{100}{(q+2)^2}dq=\\&\\&100\int \frac{-dq}{(q+2)^2}=\\&\\&\text {esa es una integral inmediata}\\&\\&=100·\frac{1}{q+2}+C\\&\\&\text{Como nos dicen que c=0}\\&\\&p(q)=\frac{100}{q+2}\\&\\&\text{con ello}\\&\\&p(3)=\frac{100}{3+2}=\frac{100}{5}=20\end{align}$$Y eso es todo.
