Calclo diferencial y sus aplicaciones, análisis marginal
Usted ha determinado que el comportamiento de sus utilidades, en función del precio de su producto, está dado por la expresión;
$$\begin{align}&U(p)=400(15-p)(p-2)\end{align}$$donde la utilidad está dada en cientos de pesos y el precio está limitado por el intervalo
$$\begin{align}&5≤p≤15\end{align}$$. Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo.
1 Respuesta
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S e me hace un poco raro que la expresión tenga forma de producto en lugar de sumandos, pero eso es lo que pone. La asalta a uno la duda si efectuar primero el producto y derivar después o derivar directamente, voyu a hacerlo de esda segujnda forma.
Ya sabes que para calcular los máximos o mínimos hay que derivar la función e igualar a cero
U'(p) = 400(-p+2+15-p) = 400(-2p+17) = 0
-2p + 17 = 0
2p = 17
p = 17/2 = 8.5
Comprobamos que p está en el intervalo [5, 15] luego sirve.
Y vamos a hacer también la comprobación de que es máximo y no es mínimo, para ello calculamos la derivada segunda y el valor en p debe ser negativo
U''(p) = -800
Es negativa para cualquier valor liuego es un máximo.
Luego el precio que maximiza la utilidad es p=8.5
Y el valor óptimo es
U(8.5) = 400(15 - 8.5)(8.5 - 2) = 400 · 6.5 · 6.5 = 16900
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Y eso es todo.
