Calculo diferencial comportamiento de utilidades

La utilidad será máxima (o mínima) cuando la derivada de la función sea 0 (cero). Para ser más sencilla la derivada, primero vamos a distribuir todos los parentesís

$$\begin{align}&U(p) = 400(15−p)(p−2)\\&U(p) = (6000 - 400p)(p-2)\\&U(p) = 6000p - 12000 - 400p^2+ 800p\\&U(p) = -400p^2 + 6800p - 12000\end{align}$$

cuya derivada es

$$\begin{align}&U'(p) = -800p + 6800\end{align}$$

queremos ver para que valor de p la derivada vale cero, luego:

0 = -800 p + 6800

p = 6800 / 800

p = 8,5 (está en el rango válido así que viene bien)

Queda ver que la función sea un máximo, para esto tenés hay dos opciones:

1. Como la función U(p) es una parábola, con el coeficiente principal negativo (-400), esto quiere decir que la forma de la parábola tiene las ramas "hacia abajo" y por ende el punto encontrado es máximo (la función tiene forma de U invertida)
2. La otra opción (y por cierto más "matemática") es evaluar la derivada segunda

U''(p) = - 800 que es constante por lo que, en particular, U''(8,5) = - 800 que al ser negativo indica que el punto en cuestión es un máximo (como ya habíamos intuido antes).

Queda ver de cuanto es la utilidad, para esto evaluamos U(8,5)

$$\begin{align}&U(8,5) = -400*{8,5}^2 + 6800*8,5 - 12000\\&U(8,5) = 16900\end{align}$$

·

U(p)=400(15-p)(p-2)

Calculamos la derivada por el método de la multiplicación e igualamos a cero

U'(p) = 400(-p+2+15-p) = 400(-2p+17) = 0

-2p + 17 = 0

2p=17

p=8.5

8.5 pertenece a [5,  15] luego sirve

Normalmente cuando te piden un máximo el punto va a ser un máximo, pero or si acaso lo comprobamos con la derivada segunda

U''(p) = -800

Es negativa luego es un máximo

Y el valor de la utilidad máxima será

U(8.5) = 400(15-8.5)(8.5-2) = 400 · 6.5 · 6.5 = 16900

·

Y eso es todo.