Demostrar que si n es par, entonces 1/x^n=infinito limx--0 y que si n es impar entonces 1/x^n cuando lim x tiende a 0 no existe

Luis Aguilar!

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Habría una pequeña controversia de lenguaje, ya que según lo que estudie yo el límite solo existe cuando es finito, pero voy a transigir y resolver lo que dice.

Consiste en que para que un límite exista deben coincidir los límites por la derecha y por la izquierda.

$$\begin{align}&\text{Si n es par}\implies n=2m\\&\\&\lim_{x\to 0-} \frac{1}{x^{2m}} =\lim_{x\to 0-}{\frac{1}{(x^2)^m}}=+\infty \\&\\&\text {ya que } x^2\gt 0\; \forall x\in \mathbb R-\{0\}\\&\\&\\&\lim_{x\to 0+}\frac{1}{x^{2m}}= +\infty \quad\text{por lo mismo}\\&\\&\text{luego los límites coinciden y por lo tanto}\\&\\&\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^n}=+\infty \quad \text{si n es par}\end{align}$$

Mientras que si n es impar cuando calculemos el límite por la izquierda tendremos x negativas que elevadas a una potencia impar son negativas tendiendo a cero con lo que 1 entre ello será -infinito.  Y en el límite por la derecha el denominador tenderá a 0 pero siendo siempre positivo y el límite será + infinito.  Como no coinciden, no hay límite.

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Y eso es todo.