Congruencias de triángulos, geometría no ecuclidiana

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El paso 2 es por el principio de tricotomía de los números reales, dados dos números a y b se cumple una y solo una de estas tres cosas

a=b

a<b

a>b

El paso iii) está mal escrito, tendria que poner

Si DE < AB entonces existe un punto G entre A y B tal que AG ~= DE

El segmento más corto debe ser congruente con una parte del otro más grande.

En el punto iv) usa que si dos triángulos tienen congruentes dos lados y el ángulo entre ellos, entonces son congruentes los triángulos. Es el llamado criterio L-A-L

En el punto v) como son congruentes los triángulos CAG y FDE entonces el ángulo AGC es congruente con el ángulo DEF, que es el ángulo en E

Y en el punto vi) se recuerda que E era congruente con el ángulo en B por hiṕotesis.  Luego AGC ~ B

Y en el punto vii) dice que eso es contradictorio. Algún motivo habrá pero yo no sé qué axiomas estáis empleando. Debe ser algo de que dada una recta y un punto externo todos los puntos de la recta forman ángulos distintos con ese punto.

Y al haberse dado contradicción se rechaza la hipotesis

DE < AB

luego debe ser DE >= AB

Luego en ix) se supone DE > AB y se hace lo mismo que antes ahora con un punto H entre D y E

Y vuelva a salir una contradicción como antes, luego se rechaza DE > AB

Y por el principio de tricotomia, ya que son falsas

DE < AB  y  DE>AB

tiene que ser DE = AB

Y ahora usamos el criterio de congruencia L-A-L

Ya que tenemos

AB ~ DE

AC ~ DF

angulo A ~ angulo D

por lo que

Triángulo ABC ~ triángulo DEF

Y eso es todo.

Esa parte que ha quedado algo oscura en el punto vii) de demostrar la contradicción también podría decirse que por ser iguales esos ángulos AGC y ABC, entonces la recta BC y la recta GC serían paralelas, pero no pueden serlo porque tienen en común el punto C.

¡Muchas Gracias! Excelente su ayuda como siempre. Saludos experto