¿Cuáles son los intervalos de concavidad para la siguiente función y=(x^2-x-1) ^2?
Determinar la primera derivada, para obtener la segunda derivada y de ella obtener los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.
$$\begin{align}&y=(x^2-x-1)^2\\&\\&y'=2(x^2-x-1)(2x-1)\\&\\&y''=2(2x-1)(2x-1)+2(x^2-x-1)2\\&y''=2(4x^2-4x+1)+4x^2-4x-4\\&\\&y''=12x^2-12x-2\\&\\&y''=0\\&\\&x=\frac{12 \pm \sqrt{240}}{24}=\\&x_1=-0,15\\&x_2=1,15\\&\\&Intervalos \ concavidad:\\&(-\infty;-0,15) \Rightarrow f''(-10)>0 \ concava(hacia \ arriba)\\&(-0,15;1,15) \Rightarrow f''(0)<0 \ convexa(hacia \ abajo)\\&(1,15; \infty) \Rightarrow f''(10)>0 \ concava(hacia \ arriba)\end{align}$$Puntos de Inflexión (-0,15;0,69) y (1,15;0,69)
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Haremos la primera derivada y luego la segunda.
$$\begin{align}&y=(x^2-x-1)^2\\&\\&y'=2(x^2-x-1)(2x-1)\\&\\&\text{La segunda la igualaremos a 0}\\&\\&y''= 2\left((2x-1)(2x-1)+2(x^2-x-1) \right)=\\&\\&2(2x-1)^2+4(x^2-x-1)=\\&\\&8x^2-8x +2+4x^2-4x-4 =\\&\\&12x^2-12x-2 = 0\\&\\&\text{calculamos las raíces}\\&\\&x=\frac{12\pm \sqrt{144+96}}{24}= \frac{12\pm \sqrt {240}}{24}=\\&\\&\frac{12\pm 4 \sqrt {15} }{24}= \frac{3\pm \sqrt{15}}{6}\end{align}$$Como esos números son muy feos de escribir llamaré r1 a la raíz con signo menos y r2 a la que tiene signo +
Tenemos que calcular el signo de la derivada segunda. Como es una parábola con coeficiente director positivo será positiva a los lados y negativa entre las raíces. Si no te sirve este argumento puedes tomar tres puntos de cada intervalo y calculas el valor de la derivada segunda en ellos
(-oo, r1) f''(x)>0 ==> f(x) es cóncava hacia arriba
(r1, r2) f''(x) <0 ==> f(x) es cóncava hacia abajo
(r2, oo) f''(x) >0 ==> f(x) es cóncava hacia arriba
Las palabras cóncava y convexa son inutilizables porque cada país, cada autor, cada libro dicen una cosa distinta. Cóncava hacia arriba es con forma de copa, y cóncava hacia abajo con forma de iglú.
Y eso es todo.
¡Ah bueno! Los puntos de inflexión son esos r1 y r2.
En matemática superior no se deben calcular raíces cuadradas a no ser que su resultado sea exacto. Pero si es necesario ubicar el punto lo haremos, pero con más de dos decimales si después se va a operar con esa cifra. No digo que haya que hacer lo que voy a hacer yo ahora, pero no está mal como ejercicio
El punto de inflexión izquierdo es:
$$\begin{align}&(r_1,f(r_1))=\\&\\&\left(\frac{3-\sqrt{15}}{6}, \left( \left(\frac{3-\sqrt{15}}{6}\right)^2-\frac{3-\sqrt{15}}{6}-1\right)^2\right)=\\&\\&\left(\frac{3-\sqrt{15}}{6}, \left(\frac{9-6 \sqrt{15}+15}{36}-\frac{3-\sqrt{15}}{6}-1\right)^2\right)=\\&\\&\left(\frac{3-\sqrt{15}}{6}, \left( \frac{9-6 \sqrt{15}+15-18+6 \sqrt{15}-36}{36}\right)^2\right)=\\&\\&\left(\frac{3-\sqrt{15}}{6}, \left( \frac{9-6 \sqrt{15}+15-18+6 \sqrt{15}-36}{36}\right)^2\right)=\\&\\&\left(\frac{3-\sqrt{15}}{6},\left(-\frac{30}{36}\right)^2 \right)=\\&\\&\left(\frac{3-\sqrt{15}}{6},\left(\frac{5}{6}\right)^2 \right)=\\&\\&\left(\frac{3-\sqrt{15}}{6},\frac{25}{36} \right)\approx\\&\\&\text{Y una vez hechas todas las cuentas se puede}\\&\text{calcular si queremos saber por donde cae}\\&\\&\approx(-0.145497224,\;0.694444444)\\&\end{align}$$