Anónimo
¿Cómo se determina la ecuación del plano en el siguiente ejercicio?
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (0,2,3) y es normal al plano 2z-2x+y=5
2 Respuestas
La solución no es única.
Dos planos perpendiculares sus vectores normales también son perpendiculares entre si:
(a,b,c)(-2,1,2)=0
-2a+b+2c=0
Por ejemplo
a=2
b=4
c=0
(2,4,0) sirve aunque se pueden encontrar otros.
Luego la ecuación general del plano buscado será
2x+4y+C=0
Sustituyendo el punto (0,2,3) sale C=-8
Luego un plano que cumple es 2x+4y-8=0
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Hay infinitos planos cumpliendo esas condiciones porque hay infinitos vectores normales al vector del plano que nos dan. Y para cada uno de esos vectiores hay un plano que teniendo ese vector director pasa por un punto cualquiera del espacio.
Los vectores (u, v, w) normales al vector director del plano son los que cumplen
(-2,1,2)(u,v,w)=0
-2u+v+2w=0
w=(2u-v)/2 = u-v/2
tomando u y v como parámetros tenemos estos vectores
(u, v, u-v/2)
Luego tenemos infinitos vectores que nos sirven
(1,0,1)
(0,2,-1)
(1,2,0)
Y para cualquiera de ellos el plano
ux + v(y-2) + (u-v/2)(z-3) = 0
ux + vy +(u-v/2)z - 2v - 3u +3v/2 = 0
es normal al plano 2z-2x+y=5 y pasa por (0,2,3)
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Y eso es todo.