Necesito demostrar si son o no normas las siguientes:

·

a) Esa es la norma inducida por el producto escalar que se puede tomar en un espacio que lo tiene, luego seguro que es una norma.

Las propiedades de una norma son:

1) ||x||>=0 para todo x € X,  y es 0 si y solo si x=0

2) ||kx|| = |k|·||x|| para todo x €X y todo k € K (el cuerpo)

3) ||x+y|| <= ||x||+||y||

Veamos que se cumplen:

$$\begin{align}&\text{1) por ser * un producto escalar}\\&x*x \ge 0\;, \; x*x=0 \iff x=0 \\&\text{luego}\\&||x||=\sqrt{x*x}\ge0\;,\;||x||=0\iff x=0\\&\\&\\&\text{2)}\\&(kx)*(kx)=k·k·x*x=k^2·x*x\\&||kx|| = \sqrt{(kx)*(kx)}= \sqrt{k^2·x*x}=|k|\sqrt{x*x}=|k|·||x||\\&\\&\text{3) Hay una desigualdad de Schwarz que dice}\\&|x*y|\le ||x||·||y||\\&\text{la usaremos en un momento determinado}\\&||x+y||^2=(x+y)*(x+y) =\\&\\& x*x+2·x*y+y*y\le\\&\\&x*x+2|x*y|+y*y\le\\&\\&||x||^2+2||x||·||y||+||y||^2=(||x||+||y||)^2\\&\\&Luego\\&||x+y||^2\le (||x||+||y||)^2\implies\\&\\&||x+y|| \le ||x||+||y||\\&\\&\end{align}$$

¡Uff como me ha costado!

Mándame la otra norma en otra pregunta