El costo de producir q unidades de un producto está dado por: c = 4000 + 10q + 0.1q2
Si el precio de p unidades está dado por la ecuación:
q = 800 – 2.5 p
Utilice la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del costo con respecto al precio unitario cuando p = 80
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Debemos calcular la derivada del costo respecto del precio. Pero no nos dan la expresión de la función C(p) para poder resolverlo con una derivada normal. Lo que nos dan es la función del costo respecto de la cantidad y la función de la cantidad respecto del precio.
Ahi puede aplicarse la regla de la cadena que en su notación con diferenciales es muy expresiva.
$$\begin{align}&\frac{dC}{dp}=\frac{dC}{dq}·\frac{dq}{dp}\\&\\&\text{En la otra notación es:}\\&\\&C'(p) = C'(q)·q'(p)\\&\\&Luego\\&\\&\frac{dC}{dp}=(10+0.2q)·(-2.5)=-25-0.5q\\&\\&\text{podemos dejarla así o en función de p}\\&\text {lo que sea más util. En función de p sería}\\&\\&\frac{dC}{dp}=-25 -0.5(800-2.5p)=\\&\\&-25 - 400 + 1.25p^2= 1.25p^2-425\\&\\&\text{Y finalmente se calcula en p=80}\\&\\&\left.\frac{dC}{dp}\right|_{p=80}=1.25·80^2-425=7575\end{align}$$
