Apoyo con ejercicio de 1era. Derivada,valores máx,mínimos,puntos de inflexion,intervalos de crec.,decrecimiento. Y concavidad
Alguien que me ayude con un ejercicio que estoy realizando porque ya me confundí, con tanto número, ¿me podrían explicar paso por paso? Ya me me hace falta saber como sacar la 1era derivada, como sacar los valores máximos y mínimos, como determinar los puntos de inflexion, como determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y como sacar la concavidad, es de la actividad de la tasa de cambio y criterio de la primera derivada, se los agradeceré mucho.
Tercera parte:
Utiliza el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximos y mínimos de la función y=(x^2-x-1)^2. Determina también los puntos de inflexión, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad.
1 Respuesta
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Haremos la primera derivada y la igualaremos a 0 para hallar los puntos críticos. Y la segunda igualada a 0 para hallar los puntos de inflexión.
$$\begin{align}&y=(x^2-x-1)^2\\&\\&y'=2(x^2-x-1)(2x-1)\\&\\&\\&\\&y''= 2\left((2x-1)(2x-1)+2(x^2-x-1) \right)=\\&\\&2(2x-1)^2+4(x^2-x-1)=\\&\\&8x^2-8x +2+4x^2-4x-4 \\&\\&y''=12x^2-12x-2\\&\\&\text{Los puntos críticos son los que }f'(x)=0\\&\\&2x-1=0\implies2x=1\implies\\&x_1=\frac 12\\&\\&x^2-x-1=0\implies x=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}\implies\\&x_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}\approx -0.618034\\&x_3=\frac{1+\sqrt 5}{2}\approx 1.618034\\&\\&\text {veamos si son máximos o mínimos con }f''(x)\\&\\&f''\left(\frac 12\right)=-5\lt0\implies \text{máximo}\\&f''(-0.618034)=10\gt0\implies \text {mínimo}\\&f''(1.618034)= 10\gt 0\implies \text{mínimo}\\&\\&f(x_2)\; y\; f(x_3)=0 \text{ por ser raíces de }x^2-x-1\\&f(0.5)=1.5625\\&\\&\text{Máximo =}(0.5,\;1.5625)\\&\text{Mínimos=} \{( -0.618034,0), \quad(1.618034,0)\}\\&\\&\text{Puntos de inflexión cuando }f''(x)=0\\&\\&12x^2-12x-2=0\\&\\&x=\frac{12\pm \sqrt{144+96}}{24}=\frac{3\pm \sqrt{15}}{6}\\&\\&x_{i_1}\approx -0.145497\\&x_{i_2}\approx 1.145497\\&\\&f(-0.145497) =f(1.145497)=0.694445\\&\\&\text{Puntos de Inflexión:}\\&(-0.145497,\;0.694445)\\&(1.145497,\;0.694445)\\&\\&\end{align}$$Salgamos del editor de ecuaciones que en él no se pueden escribir reflexiones profundas. Ya hemos calculado los mínimos, máximos y puntos de inflexión.
Ahora los intervalos de crecimiento o decrecimiento se pueden calculan mediante el signo de la derivada primera, esto se puede hacer evaluando puntos entre las raíces de esa derivada, o conociendo cómo se comporta la derivada. Y tambíen se pueden calcular sabiendo que donde hay un mínimo antes es decreciente y luego creciente y donde hay un máximo antes crece y después decrece.
Usaré este último. Como en x= -0.618034 hay mínimo antes decrece y luego crece hasta el maximo en x=0.5 y luego decrece hasta 1.618034 donde hay un mínimo y después crece hasta infinito.
Y para la concavidad se calcula el signo de la derivada segunda, aquí usaré que
f ''(x) = 12x^2 - 12x-2
Es un polinomio de grado 2 con signo positivo en x^2, luego es positiva a la izquierda y derecha de las raíces y negativa entre ellas. Cuando sea positiva diré que la función es cóncava hacia arriba y cuando sea negativa es cóncava hacia abajo. Es inútil intentar entenderse con las palabras cóncava y convexa, cada país, cada libro, cada autor dice una cosa distinta sobre lo que es una cosa y otra.
Cóncava hacia arriba es en forma de U y cóncava hacia abajo en forma de iglú.
Pues con todo este rollo queda que los intervalos son:
Y finalmente nada mejor que una gráfica:
Y eso es todo.
¡Gracias! Muchas gracias Profesor Angel, definitivamente le entendí con mucha rapidez de esta forma tan detallada, se merece un ! Excelente!
