Ejercicio de límites al infinito

Hay que hacer el límite de la base y del exponente.

Tanto la base como el exponente son fracciones del mismo grado, luego el cálculo del límite es directo, es el cociente de los coeficientes de mayor grado. También puedes dividir numerador y denominador por x^3:

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{4x^3} \right) ^{\frac{x^3}{(1-2x)^3}}=\\&\\&\left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{-8}}=4^{\frac{1}{8}}=\sqrt [8] 4= \sqrt [8] {2^2}=\sqrt [4] 2\end{align}$$

A ver si tu función es lo que estoy interpretando yo

$$\begin{align}&\lim_{x \to +\infty}{x^3 \over (4x)^3}^{x^3 \over (1-2x)^3}=\\&\lim_{x \to +\infty}{1 \over 64}^{1 \over ...\alpha x^2}=\\&\\&\end{align}$$

y hasta ahí quiero llegar, si bien no desarrollé todo el exponente, está claro que es 1 sobre un polinomio de grado 2, así que cuando x tienda a infinito va a quedar un número (1/64) elevado a otro número que tiende a cero, por lo tanto el límite será 1.

·

Desconozco ese teorema fundamental de los límites, hay varios teoremas pero no sabía que a ninguno se le llamara fundamental.

El que hay que usar en principio es este

$$\begin{align}&\lim_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}= \lim_{x\to a} [f(x)]^{\lim_{x\to a}{g(x)}}\end{align}$$

Y luego el límite de las funciones de la base y del exponente son sencillos.  Por ser límites en el infinito se pueden calcular directamente dividiendo los coeficientes de x^3 ya que son funciones racionales con el mismo grado, o si no te dejan usar eso deberías dividir numerador y denominador por x^3 que te va a dar lo mismo que usando lo que te decia. 

$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{(4x)^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{64x^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}}{\frac{64x^3}{x^3}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{64}=\frac {1}{64}\\&\\&\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{(1-2x)^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{1-6x+12x^2-8x^3}=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}}{\frac{1-6x+12x^2-8x^3}{x^3}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\frac{1}{x^3}-\frac{6}{x^2}+\frac{12}{x}-8}=\\&\\&\frac{1}{0-0+0-8}=-\frac 18\\&\\&\text{Y aplicando el teorema, el límite es:}\\&\\&L=\left(\frac{1}{64}\right)^{-\frac 18}=64^{\frac 18}=(2^6)^{\frac 18}=2^{\frac 68}=2^{\frac 34}=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]8\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

Hola Valero que pena con usted el ejercicio era así:

$$\begin{align}&lim┬(x→∞)⁡〖{x^3/ 4x^3] ^(x^3/〖1-2x^3〗\end{align}$$