Volumen de la bóveda de viviani

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Pues este es un problema bien claro de integrales múltiples con cambio de coordenadas a cilíndricas.

La superficie x^2+y^2+z^2=a^2 es una esfera centrada en el origen de radio a

La superficie x^2+y^2=ax es un cilindro vertical.

x^2 - ax + y^2 =0

(x- a/2)^2 -(a/2)^2 + y^2= 0

(x- a/2)^2 + y^2 = (a/2)^2

Luego es un cilindro con centro

(a/2, 0)

y radio a/2.

Es como un tubo de aspirinas metido en la parte derecha de una naranja.

Calculemos cuanto mide su área para cada plano z=c

La intersección del plano con la esfera será una circunferencia

x^2+y^2+c^2=a^2 ==>

x^2+y^2 = a^2-c^2

La intersección con la curva

x^2+y^2=ax

es

ax =a^2-c^2

x = a - (c^2/a)

En este ejemplo a=5, c=4.

x^2+y^2=5^2-4^2 = 3^2

Es la circunferencia azul de radio 3 y el área en el plano z=c es la coloreada que se divide en dos zonas por la recta

x=5- (4^2/5) = 5- 16/5 = 9/5=1.8

y el área calculada con integrales es

$$\begin{align}&A=2\left(\int_0^{a-\frac{c^2}a}\sqrt{ax-x^2}dx+\int_{a-\frac{c^2}{a}}^{a^2-c^2}\sqrt{x^2-(a^2-c^2)} \right)=\\&\\&\text{y esto es laborioso de integrar, la verdad}\end{align}$$

Y el resultado que he podido obtener con el programa máxima es una expresión completamente inmanejable. Y ese resuldo habria que integrarlo con respecto a c entre -a y a.  Intentar demostrarlo sin integrales dobles y cambio múltiple de variable parece que es algo descabellado e inviable,al menos tal como lo he intentado.

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Aquí ya trabajé mucho. Si me mandas otra pregunta intento a ver si tomando áreas de corte verticales con planos x=c se puede hacer algo.

¡Ah! Convendría decir si tenemos la limitación z>=0 que sería el volumen por encima del plano z=0, por el nombre de bóveda creo que sí debe haberla.

¡Gracias! Pues según la respuesta, se puede ver que es el volumen de la esfera menos otro volumen, así que ese otro volumen lo halle multiplicando su área que para ese caso es un por por un y por un dz, pero eso en términos de z, así llegue a la respuesta