Como hago en este ejercicio de geometría analítica?

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Salvo la recta vertical, toda recta que pasa por (-2,-1) se puede representar con las coordenadas paramétricas

x=-2+t

y= -1+mt

Donde m es la pendiente

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la circunferencia tendremos los puntos de corte de la recta con la circunferencia

$$\begin{align}&x^2 + y^2 - 6x - 4y - 3 = 0\\&\\&(-2+t)^2+(-1+mt)^2-6(-2+t)-4(-1+mt)-3=0\\&\\&4-4t + t^2 +1-2mt+m^2t^2+12-6t+4-4mt+3=0\\&\\&(1+m^2)t^2-(10+6m)t+24=0\\&\\&\text{Para que la recta sea tangente debe haber una y solo una respuesta para t}\\&\text{eso sucede cuando el discriminante }\;b^2-4ac=0\\&\\&[-(10+6m)]^2-4·24(1+m^2) = 0\\&\\&100+120m+36m^2-96 -96m^2=0\\&\\&-60m^2+120m+4 =0\\&\\&15m^2 - 30m -1 = 0\\&\\&\text{calculamos m}\\&\\&m=\frac{30\pm \sqrt{900+60}}{30}= \frac{30\pm \sqrt{960}}{30}=\\&\\& \frac{30\pm \sqrt{64·15}}{30}= \frac{15\pm4 \sqrt{15}}{15}\\&\\&\end{align}$$

Hay dos soluciones ya que desde un punto exterior se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia, y la distancia punto exterior a punto de tangencia es la misma para las dos, luego tomemos una cualquiera de ellas y calculamos el punto de tangencia y después la distancia.

$$\begin{align}&(1+m^2)t^2-(10+6m)t+24=0\\&\\&t=\frac{10+6m\pm \sqrt{100+120m+36m^2-24-24m^2}}{2+2m^2}=\\&\\&\frac{10+6m\pm \sqrt{12m^2+120m+76}}{2+2m^2}=\\&\\&\end{align}$$

Y tengo que dejarlo aquí, terminalo tu.