¿El valor de las siguientes integrales?
Resolver las siguientes integrales por el método de integración de partes
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Yo te haré la segunda y cuarta.
$$\begin{align}&\int xe^{5x}dx=\\&\\&u=x\quad\quad\quad du=dx\\&dv=e^{5x}dx\quad v=\frac 15e^{5x}\\&\\&=\frac 15xe^{5x}-\frac 15\int e^{5x}dx=\\&\\&\frac 15 xe^{5x}-\frac{1}{25}e^{5x}+C=\\&\\&\frac {e^{5x}}{5}\left(x-\frac 15 \right)+C\\&\\&\text{o si lo prefieres}\\&\\&\frac{e^{5x}(5x-1)}{25}+C\\&\\&--------------\\&\\&\int x\,lnx\;dx=\\&\\&u=ln\,x\quad\quad du = \frac {dx}{x}\\&dv=xdx\quad\quad v=\frac {x^2}{2}\\&\\&=\frac{x^2}{2}lnx - \int \frac x2 dx=\\&\\&\frac{x^2}{2}lnx - \frac{x^2}{4}+C =\\&\\&\frac{x^2}{2}\left(lnx -\frac 12 \right)+C\\&\\&\text {o de esta otra forma}\\&\\&\frac{x^2(2\,lnx-1)}{4}+C\end{align}$$·
Y eso es todo.
Respuesta de Lucas m
1
Lo normal es una o dos integrales por pregunta.
Te haré dos:
$$\begin{align}&\int xlnxdx=\\&x=u' \Rightarrow u=\frac{x^2}{2}\\&lnx=v\Rightarrow v'=\frac{1}{x}\\&\\&\int =uv-\int uv'=\\&\frac{x^2}2lnx- \int \frac{x^2}{2}·\frac{1}{x}dx=\\&\\&\frac{x^2}{2}lnx-\frac{1}{2} \int xdx=\\&\\&\frac{x^2}{2}lnx-\frac{1}{2} \frac{x^2}{2}=I\\&\\&\frac{x^2}{2}lnx-\frac{x^2}{4}+C\\&\\&\\&\\&\int \cos^2xdx=\int cosx·cosxdx=\\&cosx=u \Rightarrow u'=-senx\\&cosx=v' \Rightarrow v=senx\\&\\&=uv-\int u'v=\\&\\&senxcosx-\int -sen^2xdx=\\&\\&I=senxcosx+\int sen^2xdx\\&I=senxcosx+\int (1-\cos^2x)dx\\&I=senxcosx+x-I\\&2I=senxcosx+x\\&I=\frac{1}{2}(senxcosx+x)+C\end{align}$$
En la segunda llamo I a la integral inicial, que después de aplicar la integral por partes y la fórmula fundamental de trigonometría (sen^2x+cos^2x=1) me vuelve a salir en el segundo miembro. Entonces la despejo.
La I que he puesto en el resultado de la primera integral es un error. Iba en
$$\begin{align}&I=\int \cos ^2x dx\end{align}$$