Función exponencial Y=entre parentesis 1/3 elevado a la x-2 y mas abajito +5.
Necesito esta repuesta, también me piden si es inyectiva, sobreyectiva biyectiva... Así como también la gráfica, Hallar :dominio, rango y los corte, con y con y con x
2 respuestas
A ver si interpreto la pregunta y vamos a analizarla un poco
$$\begin{align}&y = \Bigg({1 \over 3}\Bigg)^{x-2}+5\\&(espero\ que\ esa\ sea\ la\ función...)\\&\\&\end{align}$$Si esa es la función, te dejo una imagen para tener una idea de que se trata...
La función exponencial no cruza al eje de las X's y en este caso al sumarle 5 menos.
Ahora veamos el resto del análisis
$$\begin{align}&Dom = R\\&y=0 \rightarrow ya\ vimos\ que\ no\ tiene\\&x=0 \Rightarrow y=\Bigg({1\over 3}\Bigg)^{0-2}+5 = \Bigg({1\over 3}\Bigg)^{-2}+5 = 3^2+5 = 14\\&crecimiento/decrecimiento\\&y' =\Bigg({1\over 3}\Bigg)^{x-2}*ln(1/3)\\&El\ primer\ termino\ es\ siempre\ positivo\ y\ el\ ln(1/3)\ es \ negativo\ así\ que\ y'\ es\ negativo\ para \ todo\ x,\\&así\ que\ la\ funcion\ es\ estrictamente\ decreciente\\&\\&Límites\\&x \to -\infty\\&\lim_{x \to -\infty} \Bigg({1\over 3}\Bigg)^{x-2}+5 = \lim_{x \to -\infty} \Bigg({3}\Bigg)^{-(x-2)}+5 (ese\ exponente\ es\ positivo,\ luego\ lim \rightarrow + \infty)\\&\\&x \to +\infty\\&\lim_{x \to +\infty} \Bigg({1\over 3}\Bigg)^{x-2}+5 = (el\ primer\ termino\ tiende\ a cero, \ luego\ lim \rightarrow 5)\\&\\&Imagen = (5, + \infty)\\&\\&Inyectividad:\\&f(a) = f(b) \Leftarrow\Rightarrow a = b\\&f(a) = \Bigg({1\over 3}\Bigg)^{a-2}+5\\&f(b) = \Bigg({1\over 3}\Bigg)^{b-2}+5\\&f(a) = f(b)\\&\Bigg({1\over 3}\Bigg)^{a-2}+5= \Bigg({1\over 3}\Bigg)^{b-2}+5\\&\Bigg({1\over 3}\Bigg)^{a-2}= \Bigg({1\over 3}\Bigg)^{b-2}\\&(aplico\ log)\\&log\Bigg({1\over 3}\Bigg)^{a-2}= log\Bigg({1\over 3}\Bigg)^{b-2}\\&(a-2)log\Bigg({1\over 3}\Bigg)=(b-2) log\Bigg({1\over 3}\Bigg)\\&(a-2) = (b-2)\\&a=b\\&\\&Función\ sobreyectiva\\&De\ la\ forma\ que\ definí\ la\ imagen\ lo\ es\ por\ ser\ estrictamente\ decreciente\ y\ los\ limites\ que\ tiene\\&\\&Función Biyectiva\\&Por\ ser\ inyectiva\ y\ sobreyectiva\ es\ biyectiva\\&\\&\\&\end{align}$$
Buen día es muy importante para mi esa repuesta, le recuerdo lo de la función exponencil llevarla a logarítmica, necesito entregar 5 ejercicios y este no lo entiendo bien
No entiendo la pregunta. Así como está la función ya está resuelta.
·
Sobre la base de la respuesta de Gustavo manifiesto alguna discrepancia.
Cuando no nos dan el dominio ni rango de una función se suponen de R en R. Ahora bien, para que se cumpla que es una función hay que limitar el origen al dominio de la función eso si, pero el rango (o imagen) no lo podemos adaptar ya que no se incumple ninguna regla siendo todo R el conjunto destino.
Por lo tanto esta función hay que tomarla como función de R en R y no es sobreyectiva porque si tomas y<=5 no encuentras nungún x tal que f(x)=y
Y por lo tanto tampoco es biyectiva.
Faltaban los cortes. No hay corte con el eje X ya que (1/3)^(x-2) es siempre positiva y si le sumamos 5 es más positiva todavía
Y con el eje Y el corte es
y= (1/3)^(0-2)+5 = (1/3)^(-2) +5 = 3^2+5 = 14
Luego el corte con el eje Y es (0,14)
Saludas.
muchas gracias, si me faltaban los cortes,
pero yo queria aplicar esa funcion que les envie logaritmo , y en la repuesta del otrp profesor no me quedo clara
No entiendo qué quieres decir. Puedes explicarlo más detalladamente.
Buenos días que esa función exponencial llevarla a logarítmica
Tu tienes una igualdad de fonciones exponenciales, entonces si extraes logaritmos en los dos lados se mantiene la igualdad ya que estás sacando logaritmos de lo mismo. Y las propiedades de los logaritmos sirven para resolver las ecuaciones exponenciales. Hay una propiedad que dice
log(a^x) = x·log(a)
Y eso sirve para tener la x como en las ecuaciones de primer grado y resolverla.
Gustavo uso esa propiedad para demostrar que la función es inyectiva. Para demostrar que una función es inyectiva hay que suponer que tenemos dos imagenes iguales
f(a)=f(b)
y entonces demostrar que a=b
Y eso es lo que hizo, vuelve a repasarlo a ver si lo entiendes.