Resolver el siguiente problema de métodos cualitativos unidad 6 actividad 10
Si un cliente llega a McDonald’s en menos de 4 minutos después del cliente inmediato anterior, recibiría un descuento del 10%. Si el tiempo entre llegadas es entre 4 y 5 minutos, el descuento, es del 6%. Si el tiempo entre llegadas es mayor que 5 minutos, el cliente tiene 2% de descuento. El tiempo entre llegadas es exponencial, con media de 6 minutos.
En base a lo anterior, realiza lo que se te pide:
a)Determina la probabilidad de que un cliente que llegue reciba el máximo descuento.
- b) Determina el descuento promedio a cada cliente que llega.
2 Respuestas
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Es un descuento al que no le encuentro sentido, pero vamos a calcularlo.
La distribución exponencial tiene esta función de densidad
$$\begin{align}&f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\quad Si \;x>0, \;0 \;si \;no\\&\\&\text{Y la función de distribución es}\\&\\&F(x)=1-e^{-\lambda x}\\&\\&donde \\&\\&\lambda=\frac 1{E[X]}\end{align}$$X será en este ejercicio el tiempo entre clientes. La probabilidad de recibir el máximo descuento es la probabilidad de que haya llegado menos de 4 minutos después del anterior. El parámetro lambda de la exponencial lo deducimos del dato de la media (o esperanza) que es 6
$$\begin{align}&\lambda=\frac {1}{E[X]}=\frac 16\\&\\&P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\\&\\&P(X\le4)= 1-e^{-(1/6)·4}=\\&\\&1 -e^{-2/3}\approx 0.486582881\end{align}$$·
b) El promedio de descuento no tiene porque ser el descuento de la media, eso sería para funciones de descuento lineales. Para calcular el promedio de descuanto hay que calcular todas las probabilidades de descuento y luego hacer la media. Ya tenemos calculada la probabilidad de tener descuento del 10%, nos falta calcular de tener descuento del 6% (entre 4 y 5 min) y la de tener descuento del 2% (más de 5 min)
$$\begin{align}&P(4\le X\le5)= P(X\le5)-P(X\le 4)=\\&\\&1-e^{-(1/6)·5}- \left(1-e^{-(1/6)·4}\right)=\\&\\&e^{-(1/6)·4} - e^{-(1/6)·5}=\\&\\&e^{-2/3}-e^{-5/6}\approx 0.07881891053\\&\\&\\&\\&P(X\gt5)=1-P(X\le5) =\\&\\&1-\left(1-e^{-(1/6)·5} \right)=e^{-5/6}\approx0.4345982085\\&\end{align}$$He calculado las tres por definición para mayor seguridad, normalmente la última se calcula restando de 1 las anteriores, pero así podemos comprbar si esa bien todo sum,ándolas y debe dar 1.
0.486582881 + 0.07881891053 + 0.4345982085= 1
Y ahora calculamos la media del descuento así:
E[D] = 0.4345982085 · 10% + 0.07881891053 · 6% + 0.4345982085 ·2%=
4.345982085% + 0.4729134632% + 0.869196417% =
5.688091965%
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Y eso es todo.
$$\begin{align}& \end{align}$$Considerando que los clientes llegan siguiendo una distribución exponencial (cosa bastante frecuente en este tipo de fenómenos), entonces:
Los tiempos aleatorios entre llegadas cumplen
$$\begin{align}&f(t) = \lambda e^{-\lambda t} \ ,t>0\\&Y\ puede\ verse\ que\\&E(t) = \frac{1}{\lambda}\\&P(t \le T) = \int_{0}^{T}\lambda e^{-\lambda t} \ dt=1-e^{-\lambda t}\end{align}$$En este caso tenemos que
a) Para que reciba el descuento máximo, el cliente debe llegar en menos de 4 minutos, luego
$$\begin{align}&P(t \le 4) = 1 - e^{-\lambda 4}\\&(\frac{1}{\lambda}=\frac{6min}{cliente} \therefore \lambda=\frac{1cli}{6min}\\&P(t \le 4) = 1 - e^{-\frac{1}{6}*4}\\&P(t \le 4) = 1 - e^{-2/3}\\&P(t \le 4) = 0,4866\\&\end{align}$$1b) para este caso, debemos el promedio de la función (la Esperanza), que ya está danda en la primera parte y es justamente 6 minutos.
Por lo tanto el descuento promedio será de 2%