Duda con este problema de calculo multivariable

·

a)

En ese instante el volumen es

V(to) = 1·3·3 = 9m^3

Y en ese instante + h será

V(to+h) = (1+2h)(3+2h)(3-4h) = (3+8h+4h^2)(3-4h)=

9-12h+24h-32h^2+12h^2-16h^3 = 9 +12h-20h^2-16h^3

El incremento de volumen será

9 +12h-20h^2-16h^3 - 9 = 12h-20h^2-16h^3

divido entre el tiempo nos dará la razón de cambio

(12h-20h^2-16h^3) / h = 12- 20h -16h^2

Si tomamos h muy pequeño los sumandos que tienen h tienden a 0.

Luego la razón de cambio es 12 m^3/s

Hemos hecho la derivada pero sin usar la definición. La siguiente vez calcularemos la derivada directamente, porque la derivada es la razón de cambio.

b)

Sea A(to) el área en el instante cero, entonces la razon de cambio es

$$\begin{align}&A'(t_0)=\lim_{h\to 0}\frac{A(t_0+h)-A(t_0)}{h}\end{align}$$

El área es la de las bases, mas la de las paredes frontal y posterior mas la de las paredes izquierda y derecha, cada una de esas parejas tiene la misma area

$$\begin{align}&A(t) = 2[l(t)·w(t) + l(t)·h(t) + w(t)·h(t)]\\&\\&A'(t_0)=\lim_{h\to 0}\frac{A(t_0+h)-A(t_0)}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{2[(1+2h)(3+2h)+(1+2h)(3-4h)+(3+2h)(3-4h)]-2[1·3+1·3+3·3]}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{2(3+8h+4h^2+3+2h-8h^2+9-6h-8h^2)-2(3+3+9)}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{2(4h-12h^2)}{h}=\lim_{h\to 0}2(4-12h)=8\,m^2/s\end{align}$$

 c)

La diagonal es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las tres longitudes

$$\begin{align}&D'(t_0)=\lim_{h\to 0}\frac{D(t_0+h)-D(t_0)}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(1+2h)^2+(3+2h)^2+(3-4h)^2}-\sqrt{1^2+3^2+3^2}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+4h+4h^2+9+12h+4h^2+9-24h+16h^2}- \sqrt{1+9+9}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{19 -8h+24h^2}- \sqrt{19}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{19 -8h+24h^2-19}{h (\sqrt{19-8h+24h^2}+\sqrt{19})}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{ -8+24h}{\sqrt{19-8h+24h^2}+\sqrt{19}}=-\frac{8}{2 \sqrt{19}}\,m/s\approx\\&\\&0.9176629355 \,m/s\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

¡Gracias!