Apoyo para resolver las derivadas parciales utilizando el método de la regla de la cadena para las siguientes funciones.

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Me parece que haré solo uno de los dos. El otro lo puedes mandar en otra pregunta si quieres.

Consiste en calcular la derivada de dos formas, una mediante la regla de la cadena y otra haciendo la composición de las funciones y derivando después.

$$\begin{align}&\text{por la regla de la cadena}\\&\\&\frac {\partial Z(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}·\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}·\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=\\&\\&\frac{2u(u^2-v^2)-2u(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}·(-e^{-x-y})+\\&\\&\frac{2v(u^2-v^2)+2v(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}·ye^{xy}=\\&\\&\frac{4uv^2·e^{-x-y}+4vu^2·ye^{xy}}{(u^2-v^2)^2}=\\&\\&\frac{4e^{-x-y}e^{2xy}e^{-x-y }+4e^{xy}e^{.2x-2y}·ye^{xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\frac{4e^{-2x-2y+2xy}+4ye^{-2x-2y+2xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\frac{4e^{-2x-2y+2xy}(1+y)}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}\end{align}$$

Y componiendo la función y derivando después es:

$$\begin{align}&Z(x,y) = \frac{e^{-2x-2y}+e^{2xy}}{e^{-2x-2y}-e^{2xy}}\\&\\&\frac{\partial Z(x,y)}{\partial x}=\frac{(-2e^{-2x-2y}+2ye^{2xy})(e^{-2x-2y}-e^{2xy})-(e^{-2x-2y}+e^{2xy})(-2e^{-2x-2y}-2ye^{2xy})}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\\&\frac{-2e^{-4x-4y}+2e^{-2x-2y+2xy}+2ye^{-2x-2y+2xy}-2ye^{4xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}+\\&\\&\frac{2e^{-4x-4y}+2ye^{-2x-2y+2xy}+2e^{-2x-2y+2xy}+2ye^{4xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\\&\frac{4e^{-2x-2y+2xy}+4ye^{-2x-2y+2xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\frac{4e^{-2x-2y+2xy}(1+y)}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}\end{align}$$

Y como puede verse hemos llegado al mismo resultado.  y ves que es un poco pesado pero no es difícil.  Si te lo piden haza lo mismo para la parcial respecto de y, el procedimiento es idéntico.

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Y eso es todo.