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a)Observando los vectores se ve que el segundo es el doble del primero.
Luego la dimensión(S)=2
o bien escalonando la matriz:
1 2 -4 1 1 2 -4 1
2 4 -8 2 F2-2F1 0 0 0 0
2 3 1 1 F3-2F1 0 -1 9 -1
b) B=(1,2,-4.1) (0,-1,9,-1)
c) Ecuaciones paramétricas: (x,y,z,t)=a(1,2,-4,1)+b(0,-1,9,-1)
x=a
y=2a-b
z=-4a+9b
t=a-b
d)Ecuaciones cartesianas:
Sustituyendo el parámetro a=x en las demás ecuaciones:
y=2x-b
z=-4x+9b
t=x-b
Despejando el parámetro b en la segunda ecuación, y sustituyendolo en las otras dos:
b=2x-y
z=-4x+9(2x-y) ===> 14x-9y-z=0
t=x-(2x-y) =======> -x+y-t=0
Que son las dos ecuaciones cartesianas del subespacio
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a) Se ve claramente que el segundo vector es el primero multiplicado por 2, luego uno de los dos sobra, quitaremos el segundo y quedan
(1, 2, -4, 1) (2, 3, 1, 1)
Estos 2 ya no son dependientes, luego la dimensión de S es
Dim(S) = 2
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b)
La base puede ser esos dos mismos vectores
B = {(1, 2, -4, 1), (2, 3, 1, 1)}
Ya que son independientes y generadores de S.
Se puede simplificar uno de ellos con alguna operación de fila, aunque no vamos a ganar mucho, si por ejemplo le restamos 2 veces el primero al segundo quedará
B_2 = {(1, 2, -4, 1) , (0, -1, 9, -1)}
Si ahora sumamos el segundo al primero
B_3 = {(1, 1, 5, 0) , (0, -1, 9, -1)}
O si no nos gusta que haya dos negativos en el segundo y le cambiamos el signo
B_4 = {(1, 1, 5, 0) , (0, 1, -9, 1)}
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c)
Las ecuaciones paramétricas del subespacio con la base B_4 son
(x,y,z,t) = a(1,1,5,0) + b(0,1,-9,1) = (a, a+b, 5a-9b, b)
o en las cuatro componentes separadas
x =a
y =a+b
z = 5a-9b
t = b
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d)
Para calcular las cartesianas hay que poner los parámetros en función de x, y, z, t y dejar ecuaciones que solo tengan esos x, y, z, t.
Ya tenemos a y b despejados en la primer y cuarta, los llevaremos a segunda y tercera
y=x+t
z=5x-9t
Si queremos lo ponemos de esta forma
x-y+t=0
5x-z-9t=0
·
Esa es una solución pero son infinitas, es una recta que puede ponerse como la intersección de infinitos pares de planos.