Ejercicios el estudio de "Cálculo Diferencial" para ello tendrán que resolver unos problemas de límites en los cuales aplicarán

Yo te haré los otros dos:

3.-

$$\begin{align}&\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-5x+6}=\frac{0}{0}=\\&\\&\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\\&\\&\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-3}=\frac{1}{-1}=-1\\&\\&\end{align}$$

4.-

$$\begin{align}&\lim_{x\to 5}\frac{4x-20}{3x^2-7x+5}=\frac{0}{3·5^2-7·5+5}=\frac{0}{45}=0\end{align}$$

Son demasiados ejercicios para una sola pregunta así que te haré los 2 primeros. Deberás esperar que otro experto resuelva el resto o sino enviarlo en una nueva pregunta:

$$\begin{align}&1.\\&\lim_{h \to 0} \frac{(x+2h)^2-x^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{x^2+4hx+4h^2-x^2}{h}=\\&\lim_{h \to 0} \frac{4hx+4h^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{4h(x+h)}{h}=\\&\lim_{h \to 0} 4(x+h) \to 4x\\&\\&2. \lim_{x \to 3} \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}\\&\mbox{El polinomio del numerador tiende a 5 y el del denominados a 0, luego toda la función tiende a infinito}\\&\mbox{Ojo que cuando }x \to 3^- \mbox{(valores menores a 3), el denominador tiende a cero por derecha y la función tenderá a } +\infty\\&\mbox{En tanto que cuando }x \to 3^+ \mbox{(valores mayores a 3), el denominador tiende a cero por izquierda y la función tenderá a } -\infty\\&\mbox{De lo anterior, lo único que se puede deducir es que esa función diverge cuando } x\to 3\\&\end{align}$$

·

Yo haré el que me han dejado. Pero para la próxima vez manda los límites de dos en dos o de uno en uno, nos pondrás más que contentos.

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+x+1}{6+x+4x^2}=\\&\\&\text{por aplicación de la regla de límites en el }\\&\text{infinito de funciones racionales de igual grado}\\&\text{ya sabemos que el límite es el cociente de}\\&\text{los coeficientes de mayor grado: }\frac 24=\frac 12\\&\\&\text{Pero por si no te han enseñado eso, vamos}\\&\text{a sacar factor común }x^2\\&\\&=\lim_{x\to\infty} \frac{x^2\left(2+\frac 1x+\frac 1{x^2}\right)}{x^2\left(\frac 6{x^2}+\frac 1x+4\right)}=\\&\\&\text{simplificamos el }x^2\\&\\&=\lim_{x\to\infty} \frac{2+\frac 1x+\frac 1{x^2}}{\frac 6{x^2}+\frac 1x+4}=\\&\\&\text{todo número dividido por }x, x^2,\text { ...,   tenderá a cero}\\&\text{cuando x tienda a infinito}\\&\\&= \frac{2+0+0}{0+0+4}=\frac 24=\frac 12\\&\end{align}$$

Y eso es todo.