La función x2 - 63x + 18 determina el "Costo total"
A qui molestando de nuevo necesito de su ayuda porfavor
La función x2 - 63x + 18 determina el "Costo total" semanario de "x" número de estufas producidas, 70 - x expresa el "ingreso" por ventas. Determina el número de estufas que se deben de producir cada semana, para maximizar la utilidad y calcular esta utilidad máxima.
Deben de tener presente que la utilidad es igual al ingreso menos el costo total.
Reciban un cordial saludo.
2 Respuestas
$$\begin{align}& \end{align}$$Estefanía: vamos a ver que tenemos...
$$\begin{align}&C(x) = x^2-63x+18\\&I(x) = 70-x\\&U(x) = I(x) - C(x) = 70-x - (x^2-63x+18)\\&U(x) = -x^2+62x+52\\&\mbox{Como U(x) tiene las ramas hacia abajo, cuando U'(x)=0 tendrá la utilidad máxima, vamos a confirmar todo esto analíticamente}\\&U'(x) = -2x+62\\&U'(x)=0 \to0=-2x+62 \\&x=31\\&U''(x) = -2 \ (\forall x \therefore x=31\ es\ máximo)\\&\mbox{La utilidad será}\\&U(31) = -(31)^2+62(31)+52=1013\end{align}$$
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70-x no puede ser el ingreso por ventas, ya que cuantas más unidades vendieras menos ingresos tendrías, algo absurdo. Luego seguramente quieren decir que 70-x es el ingreso por cada unidad vendida.
De esta forma la función ingreso será
I(x) = (70-x)x = 70x - x^2
Y la función de utilidad será
U(x) = I(x) - C(x) = 70x -x^2 - (x^2 - 63x + 18) =
70x - x^2 -x^2 + 63x -18 =
-2x^2 + 133x - 18
derivamos e igualamos a 0
U'(x) = -4x + 133 =0
-4x = -133
x = 133/4 = 33.25 estufas
Como las estufas son unidades indivisibles tomaremos 33 ya que 34 por estar más alejado del vértice de la parábola que 33 tiene un valor menor
Luego la utilidad máxima se da produciendo 33 estufas y es
U(33) = -2·33^2 + 133·33 - 18 = -2·1089 + 4389 - 18 =
-2178 + 4389 - 18 = 2193
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Y eso es todo.