Transformación Lineal. Matriz de 2x2 a R^3
Construya una transformación lineal T: M2x2 a R^3 de manera que el núcleo de T sea S y la imagen de T sea el plano x+y-z=0.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La aplicación lineal vendrá dada por la imagen de una base de M2x2.
Respecto de la base canónica de M2x2
{1 0 0 1 0 0 0 0}
B= {0 0, 0 0, 1 0, 0 1}
El espacio S es
(-1 -1) (-1 1)
a( 1 0) + b( 0 1)
Esas dos matrices deben tener como imagen (0,0,0)
T(-1, -1, 1, 0) = (0,0,0)
T(-1, 1, 0, 1) = (0,0,0)
Completaremos a una base de M2x2
con dos elementos de la base canónica
(1,0,0,0) y (0,1,0,0)
y les asignaremos dos vectores
del plano (x+y-z)=0
esos dos vectores pueden ser
(1,-1,0) y (1, 0, 1)
Y la transformación será
T(1,0,0,0) = (1, -1, 0)
T(0,1,0,0) = (1, 0, 1)
Ya tenemos las imagenes de una base, pero
no mola porque hay dos elementos que no
son de la base canónica, mejor quecalculemos
las imágenes de
(0,0,1,0) y (0,0,0,1)
poniéndolos como suma de los 4 vectores cuyas
imágenes conocemos
(0,0,1,0) = (-1,-1,1,0)+(1,0,0,0)+(0,1,0,0)
luego
T(0,0,1,0)=T(-1,-1,1,0)+T(1,0,0,0)+T(0,1,0,0)=
(0,0,0) + (1,-1,0)+(1,0,1) = (2,-1,1)
Y
(0,0,0,1) = (-1,1,0,1)+(1,0,0,0)-(0,1,0,0)
luego
T(0,0,0,1) =T(-1,1,0,1)+T(1,0,0,0)-T(0,1,0,0)=
(0,0,0) +(1,-1,0)-(1,0,1)=(0,-1,-1)
Y ya tenemos las imágenes de la base canónica,
puestas por columnas nos darán la matriz de T
respecto de las bases canónicas.
( 1 1 2 0)
T = (-1 0 -1 -1)
( 0 1 1 -1)Si en vez de la matriz quieres la aplicación será esta
(x y) (x+y+2z) T(z, t) = (-x-z-t) (y+z-t)
