A) Encuentre una base de S b) Determine a y b para que el vector (1,a,b,1) pertenezca a S .

a)

Tenemos un espacio de dimensión 4 con dos condiciones.Cada condición que se añade independiente de las anteriores rebaja una unidad la dimensión del subespacio. En este caso hay dos condiciones no nulas luego la dimensión del subespacio es 4-2=2

Los vectores del subespacio son de la forma

x=y

y=z

(t,t,t,s)=t(1,1,1,0)+s(0,0,0,1)

Luego tomaremos como base (1,1,1,0) y (0,0,0,1)

b)

(1,a,b,1)=t(1,1,1,0)+p(0,0,0,1)

1=t

a=t

b=t

1=p

Luego a=b=1

·

R4 es un espacio vectorial de dimensión 4. Cada condición lineal del tipo

ax1 + bx^2 + cx3 + dx^4 = 0

Que no sea combinación lineal de las anteriores condiciones disminuirá la dimensión del espacio en una unidad.

Te has preguntado alguna vez que pasa si en vez del igual a cero fuera igual a otra cosa

ax1+ bx2 + cx3 + dx4 = k   con k <>0

Muy sencillo, que no habría subespacio vectorial porque entonces el vector nulo

a·0 + b·0 + c·0 + d·0 = 0

No cumpliría la condición y el conjunto que cumpliera esa condición no sería espacio vectorial.

·

Volvamos a lo que estábamos, las condiciones son

x-y = 0

x-z = 0

Son independientes porque no son proporcionales. Nada más que una condición tenga coeficiente 0 para una variable y para la otra no, es imposible que puedan ser proporcionales. Aquí la primera condición tiene coeficiente -1 para "y" y la segunda tiene coeficiente 0 para ella.

Luego estas dos condiciones harán que el espacio resultante tenga dimensión 4-2 = 2

Luego la base tiene dimensión 2. Si encontramos un sistema generador con dos vectores será una base.

Si a un vector genérico (x, y, z, u) de R4 le aplicamos las condiciones que nos dicen

x-y= 0   ==> x=y

x-z= 0  ==>  x=z

entre las dos x=y=z

entonces los vectores que quedarán son de esta forma.

(x, x, x, u)     para todos x, u de R

Que podemos descomponerlos así

(x, x, x, 0) + (0, 0, 0, u) =

x(1, 1, 1, 0) + u(0, 0, 0, 1)

Luego el conjunto

B = {(1,1,1,0), (0,0,0,1)}

Es un sistema generador de S y tiene la dimensión de S, por lo tanto es una base de S.

·

·

b)

El vector (1,a,b,1)

Ya vimos que un vector de S tenía iguales la primera, segunda y tercera coordenada, luego debe ser

1=a=b

·

Y eso es todo.