Variable compleja...me puede explicar este problema
Maestro me podria explicar este problema es sobre encontrar los puntos donde la funcion no es analitica la funcion es a siguiente:
$$\begin{align}&f(z)=\frac{z^2+1}{(z+2)(z^2+2z+2)}\end{align}$$y las respuestas del libro son estas:
$$\begin{align}&z=-2,-1\pm i\end{align}$$
1 Respuesta
·
Hay un teorema que dice que una función de variable compleja derivable en un abierto U es analítica en U.
Entonces esta función racional unicamente no es derivable en los puntos donde el denominador es 0. Para cualquier otro punto siempre se puede tomar una bola del punto que no contenga ninguno de esos puntos y por lo tanto será derivable, luego por el teorema será analitica en esa bola y por lo tanto analíca en el punto ya que está dentro de la bola.
Y los puntos que anulan el denominador son
(z+2)(z^2+2z+2)=0
En todo cuerpo (ojo que en algunos anillos no) si dos factores dan 0 como resultado uno de ellos al menos es 0
Luego
z+2 = 0 ==> z=-2
ó
z^2+2z+2=0
y esta se resuelve con la fórmula
$$\begin{align}&z= \frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2}=\\&\\&\frac{-2\pm 2 \sqrt{-1}}{2}= -1\pm \sqrt{-1}= -1\pm i\end{align}$$Luego los puntos donde no es analítica son estos tres
{2, -1+i, -1+i}
Lo mismo que dice el enunciado.
Y eso es todo.
¿Maestro en la ultima parte de donde saco los valores para resolverlo por la fórmula?
Creo que quieres decir cuál es la fórmula. Lo mismo da que la incógnita se llame x o se llame z, la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado
$$\begin{align}&az^2 +bz + c = 0\\&\\&es\\&\\&z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}$$Esto es algo que has tenido que hacer cientos de veces antes de llegar a estudiar la variable compleja ni más ni menos.
