La población del planeta en 1976 análisis matemático
La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual(Modelo exponencial) Si esta tasa de crecimiento seMantiene, ¿cuándo alcanzara la población ¿Los 10 mil millones? Luego de 5 años ¿Cuál será laPoblación
2 Respuestas
$$\begin{align}&\text{El mo delo exponencial es el siguiente:}\\&\\&P(t)=C*e^{i*t}\\&donde:\\&\\&P(t)=\text{Población final después de t años}\\&C=\text{Población actual}\\&i=\text{tasa de crecimiento anual}\\&t=\text{Tiempo en años}\\&\\&\text{Entonces, resolvamos la primera pregunta: ¿Cuándo alcanzará la población los 10 mil millones ?}\\&\\&P(t)= 10,000,000,000\\&C=4,000,000,000\\&i=2\%=0.02\\&t= ?\\&\\&\text{Luego sustituyendo los datos, se tiene que:}\\&\\&10,000,000,000=4,000,000,000*e^{0.02*t}\\&\text{Despejemos t:}\\&\\&\frac{10,000,000,000}{4,000,000,000}=e^{0.02*t}\\&\\&2.5=e^{0.02*t}\\&\\&ln(2.5)=(0.02*t)ln(e)\\&\\&\frac{ln(2.5)}{0.02}=t\\&\\&45.8145=t\\&\\&\text{Por lo tanto los 10 mil millones se alcanzarán dentro de 45.8145 años.}\end{align}$$La segunda pregunta no es muy clara, porque tenemos dos opciones:
a)¿Cuál será la población? Luego de 5 años a partir de 1976
O bien
b)¿Cuál será la población? Luego de 5 años partir de la población de los 10 mil millones.
Lo haremos de ambas maneras :)
$$\begin{align}&a)\\&\\&P(t)=?\\&C=4,000,000,000\\&i=0.02\\&t=5\ años\\&\\&Entonces:\\&\\&P(t)=4,000,000,000*e^{0.02*5}\\&\ \ \ \ \ \ \ = 4.42068*10^9\\&\text{Por lo tanto luego de 5 años habrán:}\ 4.42068*10^9\ habitantes\\&\\&\text{opción b)}\\&\\&P(t)=?\\&C=10,000,000,000\\&i=0.02\\&t=5\ años\\&\\&P(t)=10,000,000,000*e^{0.02*5}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ =1.10517*10^{10}\\&\\&\text{Por lo tanto luego de 5 años habrán:}\ 1.10517*10^{10}\ habitantes\end{align}$$y listo!
Si tienes duda, me preguntas :D
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Si la población crece un 2% anual al año siguiente tendremos
P1 = Po + 0,02Po = 1,02Po
Y al siguiente
P2= 1,02P1 = 1,02 · 1,02 · Po = Po(1,02)^2
y a los n años
Pn = Po(1,02)^n
Ponemos en la fórmula los datos que nos dan
10.000.000.000 = 4.000.000.000(1,02)^n
Vamos a dividir por 1000 millones en los dos sitios antes de nada y nos evitamos tanto 0
10 = 4(1,02)^n
10/4 = (1.02)^n
2,5 = (1,02)^n
tomando logaritmos neperianos
ln(2,5) = n·ln(1,02)
n = ln(2,5) / ln(1,02) = 46,27116989 años
Si quieres lo ponemos en días
46 años + 365 · 0,27116989 = 46 años y 99 días
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Dentro de 5 años la población será
P5 = 4.000.000.000 · (1,02)^5 =
4.000.000.000 · 1,104080803 =
4.416.323.213 habitantes.
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Y eso es todo.
Está mal. Tu prueba con tu modelo cuál es la población dentro de una año y verás como no ha crecido un 2% sino un poco más. En financieras se diría que estas usando la tasa de interés capitalizable continuamente que da más interes que el nominal. En este ejercicio habría que usar según ese símil la tasa nominal anual y someterla a interés compuesto. Saludos. - Valero Angel Serrano Mercadal
Gracias Valero. Yo he utilizado el modelo de Malthus aplicable a poblaciones de gérmenes y bacterias. Como no especificó qué clase de modelo exponencial se debía usar, me distraje y lo resolví con éste modelo. En fin. ¡Gracias!un saludo. - Yuri sunntag