Cobrar el paro durante excedencia por cuidado de familiares

Trabajo en una oficina. Mi padre está enfermo y vive en otra ciudad. Me han ofrecido un puesto de tele-trabajo en una empresa de otro sector, que me permitiría cuidar de él y mantenerme al mismo tiempo, pero no es un trabajo estable.

Si solicito una excedencia por cuidado de familiares por un año (con objeto de no perder mi puesto), ¿puedo trabajar en esa segunda empresa? Si no supero el período de prueba en ella o me despiden, ¿podría cobrar el paro y la vez continuar de excedencia?