Determina las utilidades por la venta de perfumes en un mes
La compañía “Fino Aroma”, líder en la producción y comercialización de fragancias ha determinado que sus costos fijos mensuales son de $32,720 y sus costos de venta por cada botella de perfume en promedio son de $935, asimismo, se calculan los ingresos por venta de 600 perfumes por mes, lo cual está dado por la siguiente función:
l(x)= 1500x-x2
En donde x representa la cantidad de perfumes vendidos.
a) Determina las utilidades por la venta de perfumes en un mes.
b) Determina los ingresos máximos que obtendrá la empresa durante el mes.
Segunda parte:
Fino Aroma ha determinado que sus utilidades tienen el siguiente comportamiento:
U(q)= 5x2-200x+10000
Esta función cuadrática, que representa una parábola, tiene un valor máximo que corresponde a su vértice.
a) Determina la cantidad de unidades producidas y vendidas que logran el valor máximo de las utilidades, y el valor de este máximo.
2 respuestas
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¡Hola Luis Daniel!
a)
La función de costos totales es:
CT(x) = CF + CV(x)
el costo variable es
CV(x) = 935x
Luego
CT(x) = 32720 + 935x
La utilidad son los ingresos menos el costo total
U(x) = I(x) - CT(x) =
1500x - x^2 - 32720 - 935x =
-x^2 + 565x - 32720
La utilidad para 600 frascos será
U(600) = -600^2 + 565·600 - 32720 =
-360000 + 339000 - 32720 = -53720
Pues de utilidad nada, lo que tiene son pérdidas
b)
Derivamos la función ingreso y la igualamos a 0
I(x) = 1500x - x^2
I'(x) = 1500 - 2x = 0
2x = 1500
x = 750
Y los ingresos paa x=750 son
I(750) = 1500·750 - 750^2 = 750(1500-750) = 750^2 = $562500
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Segunda parte.
El vértice de la parábola lo podemos calcular como antes, derivando e igualando a 0 o usando la fórmula del vértice de una parábola, cuya coordenada x es
vx =-b/2a
como antes ya lo hicimos con derivada ahora lo haremos con la fórmula del vértice
U(q)= 5x2-200x+10000
a=5
b=-200
vx=-(-200) / 5 = 200/5 = 40
Y el valor de la utilidad máxima es
U(40) = 5·40^2 - 200·40 + 10000 = 8000 - 8000 + 10000 = $10000
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Es verdad lo que dice Lucas. Me han engañado cuando decían:
"Esta función cuadrática, que representa una parábola, tiene un valor máximo que corresponde a su vértice."
Y yo en vez de darme cuenta que no puede ser un máximo, me estaba luciendo diciéndote otra forma de calcular el vértice.
Si la función de utilidad es:
U(x)= 5x^2 - 200x + 10000
Entonces no hay máximo, cuanto más produzcamos más utilidad habrá, siempre podremos obtener más.
Y lo más lógico es que el signo de x^2 sea negativo, entonces si que tendrá un máximo la función.
Saludos
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Luis Daniel:
2ª Parte
Revisa la fórmula de utilidades de la 2ªparte:U=5x^2-200x+10000
Ya que si el coeficiente principal a=5>0 la parábola es hacia arriba y el vértice es un mínimo
$$\begin{align}&U'(x)=10x-200=0 \Rightarrow x=20\\&U(20)=5(20)^2-200(20)+10000=8000\\&U''(x)=10>0 \Longrightarrow mínimo\\&\\&\\&\\&1ªParte:\\&CostoTotal(x)=32720+935x\\&U(x)=I(x)-C(x)=1500x-x^2-32720-935x=\\&\\&-x^2+565x-32720\\&U(600)=-(600)^2+565(600)-32720=-53720 ~\$\\&b)I(x)=1500x-x^2\\&a=-1<0 \Longrightarrow parábola \ hacia \ abajo \Rightarrow el \ vértice \ es \ un \ máximo\\&I'(x)=1500-2x=0 \Longrightarrow x=750\\&I''(x)-2<0 \Rightarrow máximo\\&I(750)=1500(750)-(750)^2=562500 \$\end{align}$$