El contenido informativo del teorema es la relación que existe Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver:
Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver:
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3
Fernanda, como siempre la respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal está impecable, sin embargo voy a aprovechar parte de su desarrollo y lo voy a terminar distinto (usando propiedades de la integral) para que veas que puede haber varias formas de llegar a un resultado:
$$\begin{align}&\int_{-\pi}^\pi(senx+cosx)^2dx=...\\&\int_{-\pi}^\pi(1+ sen\,2x)dx\\&\text{Lo anterior es lo que hizo el profe (salteando varios pasos), a partir de acá voy a cambiar el método}\\&\int_{-\pi}^\pi 1\ dx + \int_{-\pi}^\pi sen\,2x\ dx=\\&\text{Y acá está la simplificación al usar las propiedades, porque la función 1 es una función par }\\&\text{y la función seno es impar, así que podemos escribir lo de arriba como:}\\&2\cdot \int_{0}^\pi 1\ dx + 0=2 \bigg(x \bigg |_0^\pi\bigg) = 2 \pi\end{align}$$Obviamente llegamos al mismo resultado, pero con mucho menos cuentas (y por ende, menos posibilidad de equivocarnos)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Fernanda!
Esto dicho de otra forma es calcular la integral definida por el método habitual.
$$\begin{align}&\int_{-\pi}^\pi(senx+cosx)^2dx=\\&\\&\int_{-\pi}^\pi(sen^2x+\cos^2x+2senx\;cosx)dx=\\&\\&\int_{-\pi}^\pi(1+ sen\,2x)dx=\\&\\&\left[x-\frac{cos2x}{2} \right]_{-\pi}^\pi=\\&\\&\pi -\frac{\cos(-2\pi)}{2} -(-\pi)+\frac{\cos(2\pi)}{2}=\\&\\&\pi -\frac{1}{2} -(-\pi)+\frac{1}{2}=2\pi\end{align}$$
Efectivamente, una función impar tiene integral definida 0 entre límites opuestos.