Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas
Buenos días quisiera mandarla en preguntas independientes pero por la formulación de la pregunta no me es posible si e pueden ayudar por favor con una explicación les agradezco
1 respuesta
Respuesta de Lucas m
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Una ecuación diferencial es Lineal si:
a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado
b)Los coeficientes de la variable y y de sus derivadas dependen sólo de la variable independiente x , o bien son constantes.
Ay''+By'+Cy=f(x)
Si f(x)=0 son homogéneas.
Si A, B y C son constantes(no dependen de x) son de Coeficientes Constantes.
Luego las tres son ecuac. Diferenc. Homogéneas de Orden 2 con coeficientes constantes.
De orden 2 por que la derivada mayor es una y''.
Te resuelvo la primera:
y''+2y'-8=0
Su ecuación característica es:
$$\begin{align}&m^2+2m-8=0\\&\\&Resolviendo :\\&m_1=2\\&m_2=-4\\&\\&Raíces \ reales \ y \ diferentes \Longrightarrow\\&Solución \ tipo\\&y=C_1e^{2x}+C_2e^{-4x}\\&y(0)=0 \Rightarrow C_1+C_2=0\\&\\&y'=2C_1e^{2x}-4C_2e^{-4x}\\&y'(0)=-1 \Rightarrow 2C_1-4C_2=-1\\&Resolviendo \ el Sistema:\\&C_1=-\frac{1}{6}\\&C_2=\frac{1}{6}\\&\\&Solución:\\&y=\frac{-1}{6}e^{2x}+\frac{1}{6}e^{-4x}\\&\end{align}$$Saludos
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