Resaliza la Integral indefinida y evalúa sus intervalos dados

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¡Hola Abi Herrera!

Esta es un poco más complicada de las que estás mandando. El denominador tiene dos raíces complejas, solo hay que transformarla en la suma de dos, una cuya integral es un logaritmo neperiano y otra un arcotangente, pero hay que sudar algo.

$$\begin{align}&\int_0^2 \frac{x}{x^2-4x+5}dx=\\&\\&\text{Multiplicamos y dividimos por 2 como}\\&\text{primer paso para que el numerador }\\&\text{sea la deriva del denominador}\\&\\&=\frac 12\int_0^2 \frac{2x}{x^2-4x+5}dx=\\&\\&\text{ahora restamos y sumamos 4 en el numerador}\\&\\&=\frac 12\int_0^2 \frac{(2x-4)+4}{x^2-4x+5}dx=\\&\\&\text{separamos en dos integrales}\\&\\&=\frac 12\int_0^2 \frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx+\frac 12\int_0^2 \frac{4}{x^2-4x+5}dx\\&\\&\text{la primera es un logaritmo neperiano, la resolvemos ya}\\&\\&I_1=\frac 12ln|x^2-4x+5|\bigg|_0^2=\frac{1}{2}(ln1-ln5)=-\frac 12 ln\,5\\&\\&\text{Y ahora vamos con la segunda}\\&\text{Hay que completar cuadrados en el denominador}\\&\\&x^2-4x+5=(x-2)^2-4+5=1+(x-2)^2\\&\\&I_2=\frac 12\int_0^2 \frac 4{1+(x-2)^2}dx=2\, acrtg(x-2)\bigg|_0^2=\\&\\&2(acrtg \,0-arctg(-2))=-2 arctg(-2)\\&\\&\text{Luego la integral completa es}\\&\\&I= \frac 12 ln\,5-2arctg(-2)\end{align}$$

Espero lo hayas entendido, lo he hecho un poco rápido porque si te ponen esas integrales se supone que ya llevas un nivel bastante avanzado.

Saludos.

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