Hallar las dimensiones de dicho cilindro.

·

·

¡Hola Israel!

Tenemos la fórmula del volumen

V=πr^2*h

Pero esta fórmula depende de dos variables r y h.

Para poder resolverlo con teoría de máximos y mínimos para funciones de una sola variable debemos hacer que la función dependa solo de una

Vemos que a cada longitud de radio que tomemos le corresponde automáticamente un altura y viceversa, luego el radio y la altura están relacionados, veamos como.

Si proyectamos al conjunto sobre el plano de atrás tenemos un triángulo y un rectángulo. Bueno, triángulos tenemos dos, el grande del cono y el pequeño que se forma arriba del rectágulo. Y son semejantes por tener dos lados sobre la misma recta y el otro lado paralelo. Entonce hay proporcionalidad entre los lados y tenemos

$$\begin{align}&\frac{2r}{20}=\frac{24-h}{24}\\&\\&\text{despejaré h porque luego no tendré que elevarla al cuadrado}\\&\\&48r =480 -20h\\&\\&20 h = 480 - 48r\\&\\&h = \frac{480-48r}{20 }=\frac{120-12r}{5}=\frac{12}{5}(10-r)\\&\\&\text{Con esto la fórmula del volumen pasará a tener una sola variable}\\&\\&V=\pi r^2h\\&\\&V(r) = \pi r^2·\frac{12}{5}(10-r)=\frac{12}{5}\pi(10r^2-r^3)\\&\\&\text{Derivamos e igualmos a 0}\\&\\&V'(r) = \frac{12}{5}\pi(20r-3r^2)=0\\&\\&20r - 3r^2=0\\&\\&r(20-3r) = 0\\&r=0 \quad\text{no sirve, el volumen sería 0}\\&\\&20-3r = 0\\&3r = 20\\&r=\frac {20}3\approx 6.6666...\\&\\&\text{Es el máximo porque sí, pero vamos a comprobarlo}\\&\\&V''(r)=\frac{12}{5}\pi(20-6r)\\&\\&V''\left(\frac {20}3\right) = \frac{12}{5}\pi\left(20-6·\frac{20}{3}  \right)=\frac{12}{5}\pi\left(20-40  \right)\lt 0\\&\\&\text{Luego en }\quad r=\frac {20}3  \text{está el máximo}\\&\\&\text{La altura es }\\&\\&h=\frac{12}{5}(10-r)=\frac {12}5\left(10-\frac {20}3\right)=\frac {12}5·\frac {10}3=8\\&\\&\text{Y el volumen}\\&\\&V=\pi r^2h=\pi·\frac{400}{9}·8=\frac{3200\pi}{9}\approx 1117.010721\end{align}$$

:

: