Tengo que hallar una función inversa

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Hola Laura!

Para calcular la función inversa:

1º intercambia las variables x, y

2º despeja y:

$$\begin{align}&y=\sqrt{x^2-4}\\&\\&x=\sqrt {y^2-4}\\&\\&elevando \ al \ cuadrado:\\&x^2=y^2-4\\&\\&y^2=x^2+4\\&\\&y= \pm \sqrt {x^2+4}\end{align}$$

Al no ser una función biyectiva (uno a uno) la función inicial(roja). Tenemos dos fórmulas para la inversa una para cada rama(lila y verde)

Recuerda que la gráfica de la inversa es la simétrica respecto la bisectriz del 1r y 3r cuadrante

$$\begin{align}&y=\frac{1+e^x}{1-e^x}\\&\\&x=\frac{1+e^y}{1-e^y}\\&\\&x-xe^y=1+e^y\\&\\&x-1=e^y+xe^y\\&\\&x-1=e^y(1+x)\\&\\&e^y=\frac{x-1}{x+1}\\&\\&y=ln  \frac{x-1}{x+1} \end{align}$$

Saludos

;)

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¡Hola (xxxxxx)!

También se puede despejar x y al final intercambiar x con y

$$\begin{align}&a) \\&\\&y= \sqrt{x^2-4}\\&\\&y^2 = x^2-4\\&\\&x^2=y^2+4\\&\\&x=\pm \sqrt{y^2+4}\\&\text{Y pongo y donde x, y donde x pongo }f^{1}(x)\\&\\&f^{-1}(x)= \pm \sqrt{y^2+4}\\&\\&\text{Esto en realidad son dos funciones}\\&\\&f_1^{-1}(x) = \sqrt{y^2+4}\\&\\&f_2^{-1}(x) = -\sqrt{y^2+4}\\&\\&\\&b)\\&\\&y=\frac{1+e^x}{1-e^{x}}\\&\\&y(1-e^x) = 1+e^x\\&\\&y - ye^x = 1 + e^x\\&\\&-ye^x-e^x = 1-y\\&\\&-e^x(y+1)= 1-y\\&\\&-e^x = \frac{1-y}{y+1}\\&\\&e^x=\frac{y-1}{y+1}\\&\\&x = ln \left(\frac{y-1}{y+1}  \right)\\&\\&\text{Y hacemos el intercambio de variable}\\&\\&f^{-1}(x) = ln \left(\frac{x-1}{x+1}  \right)\end{align}$$

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