Evaluar la siguiente integral impropia desarrollo paso a paso
Buenas nochses amigos de todo expertos nuevamente pidiendo su ayuda esta vez con integrales
Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente. Es fundamental mencionar si es convergente o divergente y describir los prosedoimiento para tener mejor claridad espero sua ayuda
1 Respuesta
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¡Hola Albert!
El 99% de las personas no se daría cuenta que es una integral impropia si no se lo dices y la haría normalmente.
Es impropia porque en 0 la función tiende a infinito, en concreto a -infinito por la izquierda y a +infinito por la derecha. Para efectuarla bien debemos dividirla en dos trozos y usar la definición de integral impropia. Y aprovechando ya en el primer paso pondré la notación exponencial, más adecuada para efectuar las integrales.
$$\begin{align}&\int_{-8}^1 \frac{1}{\sqrt[3]x}dx =\\&\\&\lim_{k\to 0^-} \int_{-8}^k x^{-\frac 13}dx + \lim_{h\to 0^+}\int x^{-\frac 13}dx=\\&\\&\left.\lim_{k\to 0^-} \frac{x^{-\frac 13+1}}{-\frac 13+1}\right|_{-8}^k+\left.\lim_{h\to 0^+} \frac{x^{-\frac 13+1}}{-\frac 13+1}\right|_{h}^1=\\&\\&\left.\lim_{k\to 0^-} \frac{x^{\frac 23}}{\frac 23}\right|_{-8}^k+\left.\lim_{h\to 0^+} \frac{x^{\frac 23}}{\frac 23}\right|_{h}^1=\\&\\&\frac 32\left( \left.\lim_{k\to 0^-} x^{\frac 23}\right|_{-8}^k+\left.\lim_{h\to 0^+} x^{\frac 23}\right|_{h}^1\right)=\\&\\&\frac 32(0-\sqrt[3]{(-8)^2}+1-0)=\frac 32(\sqrt[3]{64}+1)=\\&\\&\frac 32(-4+1)= \frac 32·(-3) = -\frac {9}2\end{align}$$Y ese es el resultado, que si te fijas es el mismo que te daría si la hubieras hecho como no impropia, pero no siempre se tendrá esa suerte.
Saludos.
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¡Ah, que ahora me he leído todo el enunciado! La integral es convergente por supuesto, ya que ha dado un resultado finito.
