Calcula los siguientes límites del ejercicio

Haré el segundo y espero el doctor Herrera asiente la resolución.

$$\begin{align}&L=\lim_{x\to\infty}\left( \frac{x^2+3x}{x^2-2} \right)^{x+3}= 1^{\infty}\\&\\&\text{Te lo deduzco completo, si}\text{n fórmulas}\\&\text{El cociente es 1 y el resto es}\\&x^2+3x-(x^2-2)=3x+2\\&\\&L=\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{3x+2}{x^2-2}  \right)^{x+3}=\\&\\&\text{Usaré esta definición de e}\\&\\&e=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^{n}\\&\\&\text{n es el inverso de lo que tenemos }n=\frac {x^2-2}{3x+2}\\&\\&= \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac 1{\frac {x^2-2}{3x+2}}  \right)^{x+3}=\\&\\&\text{multiplicamos y dividimos el exponente por n}\\&\text{de paso aplicamos ya propiedades de los límites}\\&\text{para no alargar demasiado esto}\\&\\&=\left( \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac 1{\frac {x^2-2}{3x+2}}  \right)^{\frac {x^2-2}{3x+2}}\right)^{\lim_{x\to \infty} {(x+3)}·\frac{3x+2}{x^2-2}}=\\&\\&e^{\lim_{x\to \infty} {(x+3)}·\frac{3x+2}{x^2-2}}=e^{\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2+11x+6}{x^2-2}}=e^3\\&\end{align}$$

Y eso es todo, ahora déjame con el doctor Herrera que no me deja comentar sus respuestas.

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No es cierto señor Herrera que en su anterior existencia no contestaba preguntas de matemáticas, física y similares. Tal vez no había negocio porque entonces las matématicas eran poco solicitadas y gracias al esfuerzo de los que TRABAJAMOS en ellas se han hecho un plato apetitoso, y en su retorno ha querido coger parte de la tarta, pero eso sí, sin pegar un palo al agua. Sabe usted que si todas tuvieramos su actitud deplorable cerraría esta sección porque nadie tiene la paciencia de ver sus videos o buscar la respuesta en artículos que muchas veces no la tienen.

Váyase señor Herrera, en beneficio de todos lárguese de aquí.

Como estas:

Te resuelvo el ejercicio a)

Se tiene:

Factorizamos el numerador y el denominador (supongo que lo sabes hacer). Puedes utilizar el método de Ruffini y el método del aspa en el caso de un trinomio.

Luego:

Simplificamos:

Reemplazamos "x" por - 1

= - 3/- 2 = 3/2

Eso es todo, espero que puedas entender. No te olvides puntuar la respuesta.

Nota: yo resuelvo un ejercicio por pregunta. Si deseas que resuelva el otro ejercicio envíala como otra pregunta.

El apartado b es una indeterminación del tipo 1 elevado a infinito. Para resolverla debes aplicar la siguiente fórmula:

$$\begin{align}&\lim_{x\to +\infty} \left[ f(x) \right]^{g(x)}=e^{\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)-1 \right)\cdot g(x)}\end{align}$$

Teniendo en cuenta que en este caso:

$$\begin{align}&f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2-2} \\\\&g(x)=x+3\end{align}$$

Estimada Mery: Los expertos Luis Alberto y Javiabelo amablemente lo resolvieron.