Calcular los siguientes limites: limx→∞=(√x^2+5-(x+2))

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¡Hola Lizy!

Con ese símbolo de raíz cuadrada hay que tener cuidado porque no se sabe dónde termina el radical, aparte del símbolo hay que encerrar el radical entre parántesis, de todos formas imagino que engloba (x^2+5)

$$\begin{align}&L=\lim_{x\to \infty}(\sqrt{x^2+5}-(x+2))= \infty-\infty\\&\\&\text{es una indeterminación y el límite tiene toda la}\\&\text{pinta de resolverse multiplicando y dividiendo por}\\&\text{el binomio conjugado.}\\&\\&L=\lim_{x\to \infty}\frac{(\sqrt{x^2+5}-(x+2))·(\sqrt{x^2+5}+(x+2))}{\sqrt{x^2+5}+(x+2)}=\\&\\&\text{El numerador es un producto notable }\\&(a+b)(a-b) = a^2-b^2\\&\\&= \lim_{x\to \infty}\frac{(\sqrt{x^2+5})^2-(x+2)^2}{\sqrt{x^2+5}+(x+2)}=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+5-(x^2+4x+4)}{\sqrt{x^2+5}+(x+2)}=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{-4x+1}{\sqrt{x^2+5}+(x+2)}=\\&\\&\text{dividimos todo por x, x entra dentro de la raíz como }x^2\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{-4+\frac 1x}{\sqrt{1+\frac 5{x^2}}+(1+\frac 2x)}=\\&\\&\text{Las constantes entre }x \;o\;x^2\;\text{ tienden a 0}\\&\\&=\frac{-4+0}{\sqrt{1+0}+1+0}=\frac{-4}{1+1}=-2\\&\\&------------------\\&\\&\lim_{x\to 3} \frac{(7-2x)^7}{x-3}=\frac{(7-2·3)^7}{3-3}=\frac 10=\infty\\&\\&\text{en concreto es }\\&-\infty\text{ por la izquierda}\\&+\infty\text{ por la derecha}\\&\end{align}$$

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