Cómo obtener el Costo marginal y costo promedio?

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¡Hola Angel Cuevas!

El costo marginal es la derivada es la derivada del costo total.

$$\begin{align}&C(x)= 300 - 10x^2+\frac 13x^3\\&\\&C_{marg}(x)=C'(x)= -20x+x^2\\&\\&\text{Para calcular el mínimo derivamos e igualamos a 0}\\&\\&C_{marg}'(x)=-20+2x=0\\&2x=20\\&x=10\\&\\&\text{La derivada segunda del costo marginal es}\\&C_{marg}''(x)=2\gt 0\text{ luego es un mínimo}\\&\\&\text{Y el costo marginal mínimo será }\\&C_{marg}(10) =-20·10+10^2=-100\\&\\&-------------------\\&\\&\text{El costro promedio es:}\\&C_{prom}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{\frac 13x^3-10x^2+300}{x}=\\&\\&=\frac 13x^2-10x+\frac {300}x\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&C_{prom}'(x)=\frac 23x-10-\frac{300}{x^2}=0\\&\\&\frac 23x^3-10x^2-300=0\\&\\&\text{multiplicamos por }\frac 32\\&\\&x^3-15x^2 -450=0\\&\\&\end{align}$$

Y aquí el que ha planteado el problema o no se ha dado cuenta o se ha pasado varios pueblos.  No se puede pedir a un alumno no especializado en matemáticas que resuelva esa ecuación de tercer grado, salvo que use el ordenador para ello.  Y si la resuelves con ordenador verás que la respuesta es:

x=16.62761785

Veamos que es un mínimo, para ello calculamos la derivada segunda del costo promedio

$$\begin{align}&C_{prom}'(x)=\frac 23x-10-\frac{300}{x^2}\\&\\&C_{prom}''(x)=\frac 23+\frac{600}{x^3}\\&\\&C''_{prom}(16.62761785)\gt0\implies mínimo\\&\\&\text{Y el valor del costo promedio mínimo es:}\\&\\&C_{pro}(16.62761785)=\\&\\&\frac 13(16.62761785)^2-10·16.62761785+\frac{300}{16.62761785}=\\&\\&-56.07468162\\&\\&\end{align}$$

Lo cual vuelve a indicar que quien ha hecho el ejercicio no lo ha pensado porque el costo propmedio debe ser positivo, vaya chollo si fuera negativo, se estaría ganando dinero por producir sin vender.

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