Derivadas calcular resolver calculo diferencial

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¡Hola Cesar!

Como siempre pongo las reglas primero

$$\begin{align}&(f+g)=f'+g'\\&(k·f(x))'=k·f'(x)\qquad k\in \mathbb R\\&\left(\frac fg  \right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2}\\&(x^n)'=nx^{n-1}\\&\\&f(x)= \frac{x^2-1}{2x+2}\\&\\&\text{No siempre miramos o no nos damos cuenta}\\&\text{que la función es simplificable, la haré como}\\&\text{si no viera nada}\\&\\&f'(x)= \frac{2x(2x+2)-(x^2-1)·2}{(2x+2)^2}=\\&\\&\frac{4x^2+4x-2x^2+2}{(2x+2)^2}= \frac{2x^2+4x+2}{(2x+2)^2}=\\&\\&\text{factorizamos par ver si se puede simplificar algo}\\&\\&=\frac{2(x^2+2x+1)}{4(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2}{2(x+1)^2}=\frac 12\\&\\&\text{Pero si hubieramos estado atentos antes de derivar}\\&\\&f(x) = \frac{x^2-1}{2x+2}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)}= \frac{x-1}{2}\\&\\&f'(x)= \frac 12\end{align}$$

Y ya está.

Salud_os!

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$$\begin{align}& \end{align}$$

Veamos...

$$\begin{align}&\text{Reglas a aplicar}\\&(x^n)' = n\cdot x^{n-1}\\&(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\\&(a)' = 0 ...(\forall a \ constante)\\&\bigg(\frac{f(x)}{g(x)}\bigg)' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\\&---\\&f(x) = \frac{x^2-1}{2x+2}\\&f'(x) = \frac{2x(2x+2) - (x^2-1)2}{(2x+2)^2}=\frac{4x^2+4x -2x^2+2}{4x^2+8x+4}=\\&\frac{2x^2+4x+2}{4x^2+8x+4}=\frac{2(x^2+2x+1)}{4(x^2+2x+1)}=\frac{1}{2}\\&\text{Si en lugar de hacer todas esas cuentas, hubiésemos analizado primero la función, veríamos que:}\\&f(x) = \frac{x^2-1}{2x+2}=\frac{(x-1)(x+1)}{2(x+1)}=\frac{x-1}{2}\\&f'(x) = \frac{1}{2} \text{  (y nos ahorramos un montón de pasos)}\end{align}$$

Como ves al final del ejercicio, antes de empezar a "hacer cuentas a lo loco", conviene analizar un poco la función :)