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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola German!
Perdona por el despiste de la otra vez, ahora lo hacemos bien
$$\begin{align}&(x^2+2y^2) \frac{dx}{dy}-xy=0\\&\\&\text{dividimos por }x^2\\&\\&\left(1+2\left(\frac yx\right)^2 \right)\frac{dx}{dy}-\frac yx=0\\&\\&\frac{dx}{dy}=\frac{\frac yx}{1+2\left(\frac yx\right)^2}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{1+2\left(\frac yx\right)^2}{\frac yx}\\&\\&\text{hacemos el cambio }u=\frac yx\implies y=ux\implies\\&\\&\frac{du}{dx}x+u=\frac{1+2u^2}{u}\\&\\&\frac{du}{dx}x=\frac{1+2u^2}{u}-u = \frac{1+2u^2-u^2}{u}=\frac{1+u^2}{u}\\&\\&\frac{u}{1+u^2}du=\frac {dx}x\\&\\&\text{que tiene las variables separadas}\\&\\&\int\frac{u}{1+u^2}du=\int \frac {dx}x\\&\\&\frac 12 ln(1+u^2)=ln\,x + ln\,C\\&\\&ln( \sqrt{1+u^2})=ln(Cx)\\&\\&\sqrt {1+u^2}=Cx\\&\\&1+u^2 = Cx^2\\&\\&u= \pm \sqrt{Cx^2-1}\\&\\&\frac yx=\pm \sqrt{Cx^2-1}\\&\\&y=\pm x \sqrt{Cx^2-1}\end{align}$$:
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