Dada la ecuación de la circunferencia de radio 5 que es tangente a la recta de ecuación 3x-4y-1=0 en el punto A(3,2)

La tangente en un punto es perpendicular al radio en ese punto.

El vector director de un recta

Ax + By + C = 0 es

(B, -A)

tal como puedes deducir de y = (-Ax-C)/B, pendiente = -A/B, vector (B,-A)

Y el perpendicular es

(A, B)

ya que (B,-A)·(A,B) = BA-AB = 0

Luego el vector perpendicular a la tangente 3x-4y-1=0 es

(3, -4)

El cual casualmente tiene modulo 5 ya que

sqrt(3^2+4^4) = sqrt(25) = 0

Luego aplicando ese vector al punto (3,2) tenderemos en centro de la circunferencia. Lo aplicaremos tanto él como el inversoque da un centro de una circunferenica al otro lado.

Luego los centros de las circunferencias son:

(3, 2) + (3, -4) = (6,-2)

(3, 2) - (3, -4) = (0, 6)

Y las ecuaciones de circunferencias de centro (h,k) y radio R son

(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2

Por lo que las circunferencias son:

(x-6)^2 + (y+2)^2 = 25

x^2 +(y-6)^2 = 25

Y eso es todo, saludos.

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Si es lo que yo creo, la idea es calcular la ecuación de la circunferencia que sea tangente a la recta dada en el punto (3,2) y cuyo radio sea 5. Dicho esto tenemos que:

$$\begin{align}&3x-4y-1=0\\&\text{Veo si el punto A, pertenece a esta recta}:\\&(3,2)\in? recta \to 3\cdot3-4\cdot2-1 = 0 \ \therefore \in\\&\text{La ecuación general de la circunferencia será:}\\&(x-a)^2+(y-b)^2=5^2\\&\text{Para que la recta sea tangente a la circunferencia, el radio debe ser perpendicular}\\&\text{Por lo tanto la recta que contiene al radio, será tal que el producto de las pendientes dará -1}\\&\text{Escribo la recta despejando y en función de x}\\&y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\\&\therefore\\&m \cdot \frac{3}{4} = -1\\&m=-\frac{4}{3}\\&\text{La recta que contiene el radio será}\\&y_2=-\frac{4}{3}x + b\\&\text{Sabemos que debe pasar por el punto (3,2)}\\&2=-\frac{4}{3} \cdot 3 + b \to b = 6\\&\text{Y la recta será}\\&y_2=-\frac{4}{3}x + 6\\&\text{Ahora debemos calcular los puntos (a,b) que corresponden al centro de la circunferencia }\\&\text{y están sobre la recta }y_2\\&\text{Sabemos que la distancia entre un punto y una recta, está dada por}\\&d(p,R) = \frac{|A\cdot a + B\cdot b + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\&\text{Donde a,b son los valores (x,y) del punto, A,B,C los parámetros de la recta, escrito como la dieron inicialmente}\\&\text{Por lo tanto en este caso tenemos que:}\\&d(p,R) = \frac{|3\cdot a -4\cdot b -1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3a -4b -1|}{5}\\&\text{Por otro lado sabemos que esa distancia será el radio de la circunferencia (5), así que}\\&d(p,R) = 5 = \frac{|3a -4b -1|}{5} \to\\&|3a -4b -1|=25\\&\text{Ahora voy a usar la relación entre a, b, que sale de la recta }y_2\\&b=-\frac{4}{3}a+6\\&Reemplazando\\&|3a -4(-\frac{4}{3}a+6) -1|=25\\&|3a +\frac{16}{3}a-24 -1|=25\\&|\frac{25}{3}a-25|=25\\&---\\&\text{Para sacar el módulo hago}\\&\frac{25}{3}a-25=\pm 25\\&\text{Que tiene dos valores posibles}\\&a_1: \frac{25}{3}a-25= 25 \to a = 6 \to b=-2 ...centro\ (6,-2)\\&a_2: \frac{25}{3}a-25= -25 \to a = 0 \to b=6 ...centro\ (0,6)\\&\text{Por lo tanto las dos circunferencias de radio 5, que son tangentes a la recta en el punto (3,2) son:}\\&c_1: (x-6)^2+(y+2)^2=25\\&c_2: x^2+(y-6)^2=25\end{align}$$

y te dejo la imagen que demuestra este hecho