Calcular capacidad de un acumulador solar

Primeramente, ha de tenerse en cuenta que si el grifo del agua del acumulador expulsa 3 Litros por minuto (a la temperatura de 50ºC), entonces al pasar 10 minutos se habrán expulsado 30 Litros. Esto es, de la capacidad total del acumulador (que es lo que queremos hallar) se ha perdido un volumen de 30L.

Tal y como dice el enunciado del problema, esta cantidad de agua se ve repuesta por otra a la temperatura de 15ºC. Como se han perdido 30L, el volumen de este agua a menor temperatura que se requerirá será exactamente este.

Dado que este agua está a menor temperatura, absorberá calor procedente de la cantidad de agua en el calentador a mayor temperatura. Por tanto, esta cantidad de calor absorbido será (con un signo negativo) la misma cantidad de calor cedido por el resto del agua del acumulador:

$$\begin{align}&Q_{absorbido}=-Q_{cedido}\end{align}$$

Ahora bien, esta cantidad de calor puede expresarse en cada caso como el producto de la masa del agua por su calor específico y por el incemento de temperatura a la que se ve sometida (recordemos que la temperatura final de todo el sistema son 42ºC):

$$\begin{align}&Q=m\cdot C_e\cdot \Delta T\end{align}$$

Pero recordemos que la masa del agua se puede obtener como producto del volumen que ocupa por su densidad, con lo que la fórmula anterior queda:

$$\begin{align}&Q=\rho\cdot V \cdot C_{e}\cdot \Delta T\end{align}$$

Donde el incremento de temperatura se refiere a la diferencia entre la temperatura final y la inicial del agua. Vamos a resumir entonces todos los datos que tenemos para obtener la solución del ejercicio:

Para el caso del agua a menor temperatura, tenemos:

-Volumen: 30L

-Temperatura inicial: 15ºC

-Temperatura final: 42ºC

Para el caso del agua a mayor temperatura:

-Volumen: Capacidad del acumulador-30L perdidos.

-Temperatura inicial: 50ºC

-Teperatura final: 42ºC

Y además sabemos que Qabsorbido=-Qcedido.

Simplemente hemos de sustituir todo esto:

$$\begin{align}&Q_{absorbido}=-Q_{cedido}\to \rho \cdot30L\cdot C_{e}\cdot (42ºC-15ºC)=-\rho \cdot (V_{acumuador}-30L)\cdot C_{e}\cdot(42ºC-50ºC)\end{align}$$

Donde la densidad del agua y su calor específico se pueden cancelar en ambos lados de la igualdad. Con todo esto, despejando el volumen del acumulador y operando:

$$\begin{align}&V_{acumulador}=30+\frac{30(42-15)}{50-42}=131,3L\end{align}$$