El tema es de análisis funcional operadores lineales
$$\begin{align}&\text{Sea}\ \ T:\ X\rightarrow\ Y\ un\ operador\ lineal\\&Demostrar\ que \ un\ subespacio\ de\ V\ de\ X\ es\ un\ espacio\ vectorial,\ y\\&tambien\ lo\ es\ la\ imagen\ inversa\ de\ un\ subespacio\ W\ de\ Y. \end{align}$$maestro espero y pueda ayudarme saludos
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¡Hola Lizerd!
Imagino que lo que quieres decir es que la imagen de un subespacio de X es un subespacio de Y, ya que lo que dices es que un subespacio de X es un subespacio, algo obvio.
Usaremos el teorema de caracterización de subespacios, para cualesquiera u1 y u2 vectores del subespacio y calesquiera a y b del cuerpo se debe verificar a·u1 + b·u2 pertenece al subespacio
Sean y1 y y2 dos del conjunto imagen Im(V), existen x1 y x2 de V tales que
T(x1)=y1
T(x2)=y2
Como V es un subespacio toda combinación lineal de ellos pertenece al subespacio
a·X1 + b·x2 pertenece a V
Luego la imagen de cualquiera de estas combinaciones pertenece al conjunto imagen
T(a·X1+b·x2) pertenece a Im(V)
T(a·x1+b·x2) = T(a·x1)+T(b·x2) = a·T(x1)+b·T(x2) = a·y1+a·y2 pertenece a Im(V)
Luego se cumple el teorema de caracterización para Im(V) y es un subespacio vectorial.
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Sea W un subespacio de Y
Sean x1, x2 dos elementos de Im^-1(W)
T(x1) pertenece a W
T(x2) pertenece a W
T(a·x1+b·x2) = a·T(x1)+b·T(x2)
Que como es una combinación lineal de dos elementos de W pertenece a W, luego T(a·x1+b·x2) pertenece a W
Luego
a·X1 + b·x2 pertenece a Im^-1(W)
Luego Im^-1(V) es un subespacio vectorial.
Y eso es todo, sa lu dos.
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