Ejercicio de aceleración, velocidad y posición usando ED.
Se lanza una bala hacia abajo, a través de una mezcla que contiene arena y un líquido. Al pasar a través de la mezcla, la bala sufre una aceleración negativa igual a: a= -0.25 v^3 [m/s^2] . La velocidad inicial de la bala es de 45 [m/s]. Después de 6 segundos de ser lanzada ¿cuál es la posición y la velocidad de la bala? Si transcurren 2 segundos más: ¿cuál es el desplazamiento que hubo en este pequeño intervalo?
Indicaciones de mi docente:
Por lo tanto tu ecuación que relaciona a la aceleración era: a= dv/dt, esta era la más importante, de esta ED partías, tendrías que resolverla para obtener una función de la velocidad. El procedimiento que debes seguir no es solo aplicar formulas, debes usar la a=dv/dt para que tú obtengas primero una ED, que te dará una solución general de la función velocidad, aplicarás las condiciones iniciales dadas y así obtendrás una solución particular de la velocidad, esa es la que te dará la velocidad solicitada para cierto tiempo, con ellas deberás obtener la posición con la relación v=dx/dt, de nuevo tendrás una ED y deberás obtener solución general y luego particular para encontrar a la posición.
El objetivo de la actividad es que tú plantees el problema con ayuda de las expresiones que investigaste. Aplicarás entonces un método para la solución de una ED, deberás usar también los conceptos base: solución general, particular y condiciones iniciales.
1 Respuesta
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¡Hola Mauricio!
Ya resolví este problema, solo que ahora te piden que lo resuelvas por ecuaciones diferenciales.
Lo único distinto va a ser que en vez de usar las fórmulas conocidas directamente vamos a deducirlas antes.
La teoría dice que la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración la derivada de la velocidad.
$$\begin{align}&\frac{dv}{dt}= a\\&\\&dv =a\, dt\\&\\&\int dv =\int a\,dt\\&\\&v=\int a \,dt=\int -0.25 \sqrt 3dt\\&\\&v(t)= -0.25 \sqrt 3t + C\\&\\&\text{Esa es la solución general. }\\&\text{La particular cuando }v(0)=45m/s\\&v(0)= -0.25 \sqrt 3 ·0 + C = 45\\&C=45\\&\\&\text{luego}\\&v(t) = -0.25 \sqrt 3 t +45\quad [m/s]\\&\\&\text{Llamemos x a la posición}\\&\\&\frac {dx}{dt}=v \\&\\&dx= v \,dt\\&\\&x(t)=\int v \,dt = \int (-0.25 \sqrt 3 t +45)dt =\\&\\&-0.25 \sqrt 3 \frac {t^2} 2+45t + C\\&\\&\text{Y la particular para que sea }x(0) = 0\\&\text{se obtiene con }C=0\\&\\&x(t) = -0.125 \sqrt 3t^2 + 45t \quad[m]\\&\\&\text{Y ya nos ponemos a calcular}\\&\\&v(6) = -0.25 \sqrt 3· 6 +45 = 45-1.5 \sqrt 3\approx\\&\qquad \;\;\;\;42.40182379\, m/s\\&\\&\\&x(6) = -0.125 \sqrt 3·6^2 + 45·6\approx 262.2057714\,m \\&\\&\\&x(8) = -0.125 \sqrt 3·8^2 + 45·8\approx 346.1435935\,m\\&\\&\text{El desplazamiento de esos dos segundos es}\\&\\&x(8)-x(6)=83.93782214\,m\end{align}$$Y eso es todo, ahora veo que la otra vez hice mal las cuentas de v(6), ahora está bien.
Saludos.
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