Ecuación diferencial utilizando factor integrante adecuado
Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando el factor integrante adecuado
$$\begin{align}&[2xy^2+\frac{x}{y^2}]dx+4x^2ydy=0\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Victor Aviles!
$$\begin{align}&\left(2xy^2+\frac{x}{y^2}\right)dx+4x^2y\;dy=0\\&\\&M_y=4xy-\frac{2x}{y^3}\\&\\&N_x=8xy\\&\\&M_y-N_x=-4xy-\frac{2x}{y^3}=-\frac 2y\left(2xy^2+\frac{x}{y^2} \right)\\&\\&\text{luego}\\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=-\frac 2y\quad\text{que solo depende de y}\\&\\&\text{En este caso el factor integrante es}\\&\\&\mu(y)=e^{-\int \frac{M_y-N_x}{M}dy}= e^{-\int -\frac {2}ydy}=e^{2lny}=e^{ln\,y^2}= y^2\\&\\&\text{Multiplicamos las ecuaciones por el factor integrante}\\&\\&\left(2xy^4+x\right)dx+4x^2y^3\;dy=0\\&\\&M_y=8xy^3\\&N_x=8xy^3\\&\\&\text{Ahora es exacta y su solucion es }u(x,y)=C\\&\\&\text{Integramos }M\,dx\\& \\&u(x,y)=\int (2xy^4+x)dx= x^2y^4+\frac {x^2}2+\varphi(y)\\&\\&\text{Lo derivamos respecto de y y lo igualamos a N}\\&\\&4x^2y^3+\varphi'(y)= 4x^2y^3\\&\\&\varphi'(y)=0\\&\\&\varphi(y)=C\\&\\&Luego\;\\&\\& u(x,y)= x^2y^4+\frac {x^2}2+C\\&\\&\text{Y la respuesta es}\\&\\&x^2y^4+\frac {x^2}2=C\end{align}$$También se podría haber puesto la C en el primer miembro igualado a 0, es todo cuestión de gustos.
Y eso es todo, sa lu dos.
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