Resolver el siguiente ejercicio de ecuaciones diferenciales ...
La fuerza F que excita al sistema es:
$$\begin{align}&F(t)=sen(t)\end{align}$$Preguntas:
a) Investiga la segunda ley de Newton y aplíquela en la resolución del problema. Escríbela a continuación:
b) Investiga brevemente que es un diagrama de cuerpo libre y para que se usa.
c) Determina la expresión para el desplazamiento x(t ) en cualquier instante "t", suponiendo que
$$\begin{align}&x(0)=x´(0)=0\end{align}$$Grafica la solución de la ED
2 respuestas
Se trata de un movimiento oscilatorio amortiguado y forzado.
Del diagrama de Cuerpo Libre podes deducir la ecuación:
Fuerza = Masa x Aceleracion.= M dx^2 / dt^2
sen t = Fuerza del resorte + Fuerza del amortiguador
La E,D, te estaria quedando como:
M dx^2 / dt^2 + Kx + Bdx/dt = sen t
Con los valores que te dan;
dx^2 / dt^2 + x + 2 dx/dt = sen t
Para hallar x(t) deberas resolver la ecuacion dinamica.
http://www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP339921cc22h6e69c112100002814hciecb9b5c3b?MSPStoreType=image/gif&s=21&w=204.&h=36.
x(t)= C1e^-t + C2 t e^-t - cos(t)/ 2
Las constantes te salen de las condiciones iniciales:
x(0) = x'(0) = 0
x(0) = C1 - 1/2 = 0 ...................C1= 1/2
x'(t)= 1/2 e^-t( -2C1 -2C2t + 2C2 + e^t sen t)
x'(0) = 1/2( -2 C1 +2C2) = 1/2( -1 + 2C2)= 0 ......................C2= 1/2
La funcion x(t) quedaria como:
x(t) = 1/2(e^-t + t e^-t - cos t)
Revisa la resolución. Seria oportuna la intervención del Profesor Valero para detectar mis errores u omisiones en este desarrollo. Yo trabaje con la ayuda on-line de Wolfram-Alfa.
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¡Hola Mauricio!
La segunda ley de Newton dice que el sumatorio de las fuerzas es igual a la masa por la aceleración.
Las fuerzas son vectores, qué mejor que ponerlas con su signo. Dando sentido positivo a F tendremos que la fuerza del resorte está mal escrita, sería
f_k = -kx
Ya que siempre se opone al movimiento luego si k es positiva debe tener el signo menos delante. No es manía mía, en todos los escritos que he visto la fuerza de un resorte es
f_k = -kx
Por eso corrijo el enunciado.
El amortiguador ya solo por el nombre que tiene también tiene que oponerse al movimiento, lo que pasa que es que lo hace proporcionalmente a la velocidad en lugar de la posición como hacia f_k. Por lo tanto y dado que nos dan B positivo debe ser
f_B = -B dx/dt
Es incómodo trabajar con los dx/dt y d^2x/dt^2 así que usaré las socorridas x' y x''
El sumatorio de fuerzas igualado a masa por aceleración será:
$$\begin{align}&sent - kx - Bx' = mx''\\&\\&\text{Poniendo la ecuación diferencial lineal en su forma habitual es}\\&\\&mx'' +Bx' + kx = sent\\&\\&\text{hay tres tipos de soluciones dependiendo del número de raíces}\\&\text{de la ecuación característica, lo mejor será que sustituyamos}\\&\text{los valores que nos dan y así elegimos el tipo de solución}\\&\\&x'' + 2x'+x = sent\\&\\&k^2+2k+1 =0\\&\\&(k+1)^2=0\\&\\&k=-1\\&\\&\text{Cuando la raíz es doble la solución de la homogénea es}\\&\\&x_H(t ) = C_1e^{-t}+C_2te^{-t}\\&\\&\text{Ahora hay que encontrar una solución particular de la completa}\\&\text{que dada la fución sent será de la forma}\\&\\&x_P(t)=Acost+Bsent\\&x_P'(t) = -Asent +Bcost\\&x''_P(t) = -Acost -Bsent\\&\\&\text{Sustituendo en la ecuación diferencial tenemos}\\&\\&-Acost - B sent -2Asent + 2Bcost +Acost+Bsent = sent\\&(-B-2A+B-1)sent+(-A+2B+A)cost=0\\&-2A-1=0 \implies A=-\frac 12\\&2B=0\implies B=0\\&\\&\text{Luego la solución particular es}\\&\\&x_P(t)=-\frac 12 cost\\&\\&\text{Y la general de la ecuación completa es la general de}\\&\text{la homogénea más la particular de la completa}\\&\\&x(t) =C_1e^{-t}+C_2te^{-t}-\frac 12cost\\&\\&\text{Para que se cumpla }x(0)=0\\&x(0)=C_1-\frac 12=0\implies C_1=\frac 12\\&\\&\text{Para que se cumpla }\;x'(0)=0\\&\\&x'(t)=-C_1e^{-t}+C_2e^{-t}-C_2te^{-t}+\frac 12sent\\&\\&x'(0)=-C_1+C_2=0\implies C_2=C_1=\frac 12\\&\\&\text{Luego la solución particular es}\\&\\&x(t) =\frac 12 e^{-t}+\frac 12 te^{-t}-\frac 12 cost\end{align}$$Y esta es la gráfica:
Y eso es todo, sa lu dos.
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